Numerical solution of population balance equations with the maximum entropy method of moments.

Zisimos, Athanasios; Ζήσιμος, Αθανάσιος

dc.contributor.author	Zisimos, Athanasios
dc.contributor.author	Ζήσιμος, Αθανάσιος
dc.date.accessioned	2021-07-16T07:59:01Z
dc.date.available	2021-07-16T07:59:01Z
dc.identifier.uri	https://dspace.lib.ntua.gr/xmlui/handle/123456789/53632
dc.identifier.uri	http://dx.doi.org/10.26240/heal.ntua.21330
dc.description	Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο--Μεταπτυχιακή Εργασία. Διεπιστημονικό-Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών (Δ.Π.Μ.Σ.) “Υπολογιστική Μηχανική”	el
dc.rights	Default License
dc.subject	Population balance equations	en
dc.subject	Computational biomechanics	en
dc.subject	Computational mechanics	en
dc.subject	Method of moments	en
dc.subject	Maximum entropy method	en
dc.subject	Ισοζύγια κυτταρικών πληθυσμών	el
dc.subject	Υπολογιστική εμβιομηχανική	el
dc.subject	Υπολογιστική μηχανική	el
dc.subject	Μέθοδος των ροπών	el
dc.subject	Μέθοδος της μέγιστης εντροπίας	el
dc.title	Numerical solution of population balance equations with the maximum entropy method of moments.	en
heal.type	masterThesis
heal.secondaryTitle	Αριθμητική Επίλυση Ισοζυγίων Κυτταρικών Πληθυσμών με τη Μέθοδο των Ροπών και της Μέγιστης Εντροπίας.	el
heal.generalDescription	Υπάρχει πληθώρα ερευνητικών αποτελεσμάτων ότι τα ισοζύγια κυτταρικών πληθυσμών είναι ανομοιογενή συστήματα, υπό την έννοια ότι το μέγεθος, το σχήμα και το ενδοκυτταρικό περιεχόμενο σε DNA και RNA είναι ανισομερώς κατανεμημένο μεταξύ των κυττάρων του κυτταρικού πληθυσμού. Η εις βάθος κατανόηση της ετερογένειας είναι πολύ σημαντική, διότι η αγνόηση αυτής μπορεί να οδηγήσει σε εσφαλμένες προβλέψεις. Τα ισοζύγια κυτταρικών πληθυσμών χρησιμοποιούνται για να διατυπώσουν τις επιπτώσεις της ετερογένειας των κυτταρικών πληθυσμών και να βοηθήσουν στην σύλληψη της δυναμικής απόκρισης της ετερογένειας αυτών. Πιο συγκεκριμένα, τα ισοζύγια κυτταρικών πληθυσμών αποτελούν πρωτοβάθμιες μερικές διαφορικές εξισώσεις και λόγω της περιπλοκότητας της διατύπωσής τους, τις περισσότερες φορές είναι δύσκολο να επιλυθούν αναλυτικά. Παρά τις τελευταίες εξελίξεις, η επίλυσή τους παραμένει ένα απαιτητικό εγχείρημα (Kavousanakis et al. 2009). Αρχικά, η μοντελοποίηση της κυτταρικής ετερογένειας του Lac Operon, ενός μοντέλου το οποίο επιλύεται χρησιμοποιώντας έναν αλγόριθμο ελεύθερου συνόρου (Kavousanakis et al. 2009), αναλύθηκε διεξοδικά. Επιπροσθέτως, παρουσιάστηκε η κρισιμότητα της ανάλυσης των κυττάρων ως μονάδες και αναλύθηκε ο τρόπος να διαχειρίζεται κανείς τα κύτταρα ατομικά και όχι ως ομογενή σύνολα, αγνοώντας την επίδραση της ετερογένειας. Εν συνεχεία, οι εξισώσεις των ισοζυγίων των κυτταρικών πληθυσμών παρουσιάστηκαν αναλυτικά και μελετήθηκε και επεξηγήθηκε κάθε όρος του Lac Operon πολύ προσεκτικά. Όλοι οι παράγοντες του μοντέλου, όπως ο ρυθμός γέννησης, ο ρυθμός θανάτωσης, η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας, οι συνοριακές συνθήκες και όλες οι εξισώσεις, παρουσιάστηκαν διεξοδικώς. Επίσης, έγινε αναφορά σε αριθμητικές μεθόδους, οι οποίες αξιοποιούνται για την επίλυση ισοζυγίων κυτταρικών πληθυσμών, όπως η μέθοδος των πεπερασμένων διαφορών, η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων, φασματικές μέθοδοι, αλλά κυρίως παρουσιάστηκε η μέθοδος της μέγιστης εντροπίας, η οποία αξιοποιήθηκε ως εργαλείο για την επίλυση των ισοζυγίων κυτταρικών πληθυσμών (Randolph and Larson 1971). Επίσης, μελετήθηκε η μέθοδος της μέγιστης εντροπίας ως εργαλείο για την επίλυση συστημάτων μερικών διαφορικών εξισώσεων. Παρουσιάστηκε ο τρόπος με τον οποίο γίνεται η ανακατασκευή της συνάρτησης πυκνότητας, δοθέντος ενός αριθμού ροπών. Ακόμη, αναλύθηκε ο τρόπος με τον οποίο κάποιος που του έχει δοθεί ένας συγκεκριμένος αριθμός ροπών μπορεί να καταλήξει σε μια μοναδική συνάρτηση πυκνότητας η οποία προκύπτει από τις εν λόγω ροπές (Abboud et al. 2015) και παρουσιάστηκε η μέθοδος της μέγιστης εντροπίας, η οποία βασίζεται στο γεγονός, πως η κατανομή η οποία μεγιστοποιεί την εντροπία είναι αυτή η οποία είναι πιο πιθανό να συμβεί (Mead and Papanicolaou 1984). Στο τελευταίο μέρος αυτής της διπλωματικής εργασίας, παρουσιάστηκε η σύγκριση μεταξύ των αποτελεσμάτων τα οποία προέκυψαν από την επίλυση των ισοζυγίων κυτταρικών πληθυσμών με τη μέθοδο της μέγιστης εντροπίας των ροπών και με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων. Η σύγκριση μεταξύ των αποτελεσμάτων των δύο μεθόδων παρατηρήθηκε για διάφορους αριθμούς ροπών. Επίσης, δόθηκαν και προτάσεις για μελλοντική έρευνα, ως προς την επίλυση ισοζυγίων κυτταρικών πληθυσμών στις δύο ή στις τρεις διαστάσεις, καθώς και η πιθανότητα επίλυσής τους μέσω της εφαρμογής αλγορίθμων, όπως είναι η μέθοδος Newton-Raphson, η μέθοδος pseudo arc-length continuation, αλλά και με επιλύτες ιδιοτιμών, όλοι βασισμένοι στη μέθοδο της μέγιστης εντροπίας των ροπών.	el
heal.classification	Applied Mathematics	en
heal.classification	Computational Biomechanics	el
heal.classification	Computational Mechanics	el
heal.language	en
heal.access	free
heal.recordProvider	ntua	el
heal.publicationDate	2021-07-02
heal.abstract	There is a plethora of evidence that cell populations are heterogeneous systems in the sense that properties such as size, shape, DNA and RNA content are unevenly distributed amongst the cells of the population. The quantitative understanding of heterogeneity is of great significance, since neglecting its effect can lead to false predictions. Cell population balance models are used to address the implications of heterogeneity and can accurately capture the dynamics of heterogeneous cell population. In particular, cell population balance equations are first-order partial-integro-differential equations and due to the complexity of formulation, analytical solutions are hard to obtain in the majority of cases. Despite the recent progress, the efficient solution of cell population balance models remains a challenging task (Kavousanakis et al. 2009). At first the modeling of cellular heterogeneity in Lac Operon, a model which is solved using a free boundary algorithm (Kavousanakis et al. 2009) was analyzed thoroughly. Furthermore the importance of studying the cells as individuals was presented and the way of treating the cells as individuals and not as homogeneous sets, neglecting their heterogeneity was developed. Next to that, the cell population balance equations were analytically presented and each term of the Lac Operon model was studied one by one. All the components of the model such as birth rate, death rate, the partition probability density function, the boundary conditions and formulas were presented. Numerical methods, including the finite differences method, the finite elements method and spectral methods that are usually employed for the solution of most population balance equations were referred, but basically an alternative to these methods, the so called method of moments as a tool for the solution of the cell population balance equations was described (Randolph and Larson 1971). In addition, the maximum entropy method as a tool for the solution of partial-integro-differential systems of equations was studied carefully. The way maximum entropy method works in order to reconstruct the density function given a known set of moments was presented thoroughly. Furthermore, it was analyzed the way that one given a number of known moments for a given observation, is able to find a unique distribution responsible for generating those moments (Abboud et al. 2015). Additionally, the fact that the maximum entropy method is based on the concept that the distribution that maximizes the information entropy is the one that is statistically most likely to occur was persistently analyzed (Mead and Papanicolaou 1984). In the last part of this diploma thesis, a comparison between the maximum entropy method of moments and the numerical solution of the CPB problem with the finite elements method was presented. The convergence between the two solutions was observed for different number of moments. Furthermore, suggestions for future work like the solution of the CPB problem in two or higher dimensions and the possibility of implementing steady-state algorithms (Newton-Raphson), parametric continuation algorithms (pseudo arc-length continuation), and eigenvalue solvers wrapped around the maximum entropy method of moments were given.	en
heal.advisorName	Kavousanakis, Michail	en
heal.committeeMemberName	Kavousanakis, Michalis	en
heal.committeeMemberName	Boudouvis, Andreas	en
heal.committeeMemberName	Haralambos, Sarimveis	en
heal.academicPublisher	Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σχολή Χημικών Μηχανικών. Τομέας Ανάλυσης, Σχεδιασμού και Ανάπτυξης Διεργασιών και Συστημάτων (ΙΙ)	el
heal.academicPublisherID	ntua
heal.numberOfPages	63 σ.	el
heal.fullTextAvailability	false