Διακριτά αντίστροφα προβλήματα και υπολογιστικά παραδείγματα

Abstract

Αντικείμενο αυτής της διπλωματικής εργασίας είναι τα Αντίστροφα Διακριτά Προβλήματα Fredholm πρώτου είδους. Για την ανάλυση τους χρησιμοποιούνται τα αναπτύγματα ιδιαζουσών τιμών (S.V.D), και μελετώνται μέθοδοι επίλυσης με έμφαση στην μέθοδο Τikhonov. Στο τέλος γίνεται παρουσίαση υπολογιστικών εφαρμογών.

Στο πρώτο κεφάλαιο γίνεται μια απλή εισαγωγή στα αντίστροφα προβλήματα, και παραθέτονται ορισμένα χαρακτηριστικά παραδείγματα αντίστροφων προβλημάτων.

Στο δεύτερο κεφάλαιο παρουσιάζεται ο υπολογισμός των ιδιαζουσών τιμών (Singular Value Evaluation), ένα ανάπτυγμα το οποίο είναι χρήσιμο για διερεύνηση των ιδιοτήτων των ολοκληρωτικών εξισώσεων Fredholm καθώς και η συνθήκη Picard.

Το τρίτο κεφάλαιο αναφέρεται στη διακριτοποίηση των αντίστροφων προβλημάτων, και αναφέρονται οι δύο τρόποι διακριτοποίησης. Οι προσεγγιστικές ολοκληρωτικές μέθοδοι και οι μέθοδοι αναπτύγματος. Ακόμη αναφέρεται η διακριτή συνθήκη Picard και ο προσδιορισμός ιδιαζουσών τιμών (Singular Value Decomposition).

Στο τέταρτο κεφάλαιο παρουσιάζονται κάποιες μέθοδοι ομαλοποίησης αντίστροφων προβλημάτων, ενώ στο πέμπτο κεφάλαιο παρουσιάζονται τρείς τεχνικές εύρεσης του βέλτιστου παράγοντα ομαλοποίησης των παραπάνω μεθόδων.

Στο έκτο κεφάλαιο παρουσιάζεται μια υπολογιστική εφαρμογή για το πρόβλημα της βαρύτητας, όπου χρησιμοποιείται κώδικας σε Matlab για την εξαγωγή συμπερασμάτων βάσει της θεωρίας που αναπτύχθηκε στα προηγούμενα κεφάλαια.

That dissertation is dedicated to discrete inverse problems. Singular Value Decomposition is a powerful tool that we use to have an insight to the properties of Fredholm integral equation. Moreover, we refer to the most popular computational regularization methods and particularly to Tikhonov regularization method. At the end of the dissertation some computational applications are presented.

Chapter one is a brief introduction to inverse problems. We refer to some examples of inverse problems from different disciplines so as to get a notion of the differences between the inverse and the forward problem.

Chapter two is dedicated to Singular Value Decomposition and Picard condition. They both help to probe into the properties of Fredholms integral equation of the first kind.

Chapter three generally refers to the Discretization of Linear Inverse Problems. Two methods of discretizing Linear Inverse Problems (Quadrature and Expansion Methods) are mentioned. Singular Value Decomposition and Discrete Picard Condition are also considered.

Chapter four analyses the most important regularization methods, particularly Tikhonov Method. In Chapter five we mention some methods for chosing the optimum regularization parameter which we use along with one regularization method so as to obtain a solution that is close to the exact solution of the unpertubated problem.

In Chapter Six we use Tikhonov Method to solve the discretized gravity surveying problem. We use three different ways to choose Tikhonov regularization parameter so as to find three different Tikhonov solutions for the discretized problem. Then we compare those three approximate solutions with the exact solution. The purpose is to make conclusions based to the theory that has been presented to the previous chapters.