Θεμελίωση και προγραμματισμός της μεθόδου της Ισορροπίας των Αρμονικών στην αριθμητική επίλυση περιοδικών πεδίων ροής

Abstract

Η παρούσα διπλωματική εργασία ασχολείται με την αριθμητική επίλυση περιοδικών πεδίων ροής. Συνήθως, μέχρι τώρα, τέτοια προβλήματα δεν είχαν ιδιαίτερη αντιμετώπιση και επιλύονταν με τη μέθοδο της χρονο-προέλασης η οποία είναι μία γενική μέθοδος που εφαρμόζεται στην επίλυση χρονικά μη-μόνιμων προβλημάτων ροής. Έτσι, στα πλαίσια αυτής της διπλωματικής, θα γίνει η θεμελίωση και ο προγραμματισμός της μεθόδου της Ισορροπίας των Αρμονικών η οποία εφαρμόζεται στην αριθμητική επίλυση περιοδικών μόνο πεδίων ροής. Κεντρική ιδέα της μεθόδου αποτελεί η θεώρηση ότι οι άγνωστες ποσότητες της ροής, λόγω της περιοδικότητας, μπορούν να προσεγγιστούν ικανοποιητικά από μερικούς όρους σειράς Fourier. Με αυτόν τον τρόπο μειώνονται οι συνολικοί άγνωστοι, καθώς αρκεί ο υπολογισμός αυτών ακριβώς των όρων. Το αναμενόμενο πλεονέκτημα μίας τέτοιας θεώρησης είναι το κέρδος σε υπολογιστικό χρόνο καθώς υπολογίζεται απ’ ευθείας το περιοδικό φαινόμενο αποφεύγοντας τον υπολογισμό του μεταβατικού φαινομένου και απαιτείται ο υπολογισμός των λίγων αυτών συντελεστών Fourier αντί για τον υπολογισμό του πεδίου ροής σε κάθε μία από τις χρονικές στιγμές στις οποίες διακριτοποιούνται χρονικά οι μεταβλητές ροής με τη μέθοδο της χρονοπροέλασης. Εδώ, η μέθοδος της Ισορροπίας των Αρμονικών εφαρμόστηκε στην αριθμητική επίλυση των 2Δ εξισώσεων Euler, γύρω από μία μεμονωμένη αεροτομή. Ως διέγερση επιλέχθηκε η περιοδική μεταβολή της γωνίας της επ’ άπειρον ροής. Για την επίλυση των εξισώσεων της Ισορροπίας των Αρμονικών εφαρμόστηκε ένα σχήμα Jacobi. Η ανάπτυξη του επιλύτη της ροής με τη μέθοδο της Ισορροπίας των Αρμονικών βασίστηκε στον υπάρχοντα επιλύτη 2Δ εξισώσεων Euler συμπιεστού ρευστού με χρήση μη δομημένων πλεγμάτων, η διακριτοποίηση των οποίων γίνεται με σχήμα πεπερασμένων όγκων κεντροκομβικής διατύπωσης και η επίλυσή τους γίνεται με χρήση μεθόδου χρονοπροέλασης. Η περίπτωση που κυρίως μελετήθηκε, στην οποία τέθηκε η ανηγμένη συχνότητα ίση με 0.1 και υπήρξε ικανοποιητικός ρυθμός σύγκλισης παρουσίασε βελτίωση του χρόνου επίλυσης, ο οποίος βρέθηκε μάλιστα να είναι της τάξης μεγέθους των Nt χρονικά μόνιμων προβλημάτων, όπως και αναμενόταν. Ακόμη, παρατηρήθηκε καθυστέρηση σύγκλισης με την αύξηση της ανηγμένης συχνότητας της διέγερσης. Τέλος, έγινε σύγκριση των αποτελεσμάτων της Ισορροπίας των Αρμονικών με αυτά της μεθόδου χρονοπροέλασης, τα οποία ήταν όμοια μεταξύ τους. Χρησιμοποιήθηκαν δύο συχνότητες, μία χαμηλότερη (fr=0.1) και μία υψηλότερη (fr=1) και έγινε διερεύνηση για τον απαιτούμενο αριθμό αρμονικών για την ικανοποιητική προσέγγιση του πεδίου ροής

Until recently the numerical prediction of periodic flow fields was based mostly on classical techniques for unsteady problems, such as time marching. These techniques are not efficient for periodic flow fields, since a transient period must be by-passed. In this diploma thesis the alternative Harmonic Balance (HB) method is implemented in order to accelerate the computation of periodic flow fields. This method allows for the direct computation of the periodic flow fields, without having to compute the transient flow. The central idea of the HB method is the approximation of the conservative flow variables by Fourier series, using a given number of harmonics, NH. This way, a costly fluid dynamic unsteady computation is transformed into NT (Nt=2Nh+1) parallel steady computations. For the numerical computation of the HB equations a Jacobi scheme is used. Here, the HB method is applied to the solution of the 2D compressible Euler equations around an isolated airfoil with periodic excitation of the angle of attack. The solver uses a vertex-centered finite-volume method for unstructured grids. The results obtained from the HB method for various numbers of harmonics are compared with those obtained from the time-marching algorithm. A final remark is that the convergence rate of the HB solver decays as the frequency is increased.