Algorithmic aspects of the Lovasz Local Lemma

Abstract

Ο σκοπός της διπλωματικής αυτής εργασίας είναι η μελέτη και ανάλυση πιθανοτικών αλγορίθμων που οδηγούν σε κατασκευαστική απόδειξη του "Lovasz Local Lemma". Το αποτέλεσμα αυτό είναι γνωστό στη θεωρία πιθανοτήτων από το 1975 και έχει χρησιμοποιηθεί σε πολλές εφαρμογές σε συνδυασμό με την πιθανοτική μέθοδο (probabilistic method). Η πιθανοτική μέθοδος είναι ένας τρόπος να αποδυκνύει κανείς την ύπαρξη ενός συνδυαστικού αντικειμένου με χρήση πιθανοτήτων. Συγκεκριμμένα, αν θεωρήσουμε το ενδεχόμενο ένα τυχαίο αντικείμενο (σε κάποιο δειγματικό χώρο) να έχει κάποια επιθημητή ιδιότητα και αποδείξουμε ότι η πιθανότητα του ενδεχομένου αυτού είναι μη μηδενική, τότε η ύπαρξή του αντικειμένου είναι εξασφαλισμένη. Το "Lovasz Local Lemma" αντιμετωπίζει προβλήματα στα οποία υπάρχει ένα σύνολο μη επιθυμητών ιδιοτήτων. Σαν παράδειγμα μπορούμε να αναφέρουμε το πρόβλημα της ικανοποιησιμότητας λογικών προτάσεων (SAT) σε κανονική συζευκτική μορφή (CNF form). Στο πρόβλημα αυτό, το τυχαίο πείραμα είναι η απονομή τιμών αληθείας στις λογικές μεταβλητές και το ζητούμενο είναι να βρεθεί αν υπάρχει κάποια απονομή αλήθειας έτσι ώστε όλες οι "clauses" να είναι αληθείς. Μη επιθυμητή ιδιότητα είναι ότι κάποια "clause" είναι ψευδής. Το "Lovasz Local Lemma" αντιμετωπίζει περιπτώσεις όπου δεν έχουμε πλήρη αλλά μερική ανεξαρτησία αυτών των ενδεχομένων και η απόδειξη με διαφορετικό τρόπο θα ήταν δύσκολη. Η αρχική μορφή του "Lovasz Local Lemma" ήταν υπαρξιακή. Δηλαδή απλώς εξασφάλιζε την ύπαρξη του αντικειμένου χωρίς να δείχνει κάποιο τρόπο για να κατασκευαστεί. Όμως σε πολλές εφαρμογές, συμπεριλαμβανομένης της ικανοποιησιμότητας (SAT), είναι επιθυμητό να κατασκευάσουμε - υπολογίσουμε το αντικείμενο. Στη διπλωματική, θα μελετήσουμε την πρόσφατη (2010) απόδειξη των R.Moser , G.Tardos ότι κάτι τέτοιο είναι εφικτό, που έγινε με χρήση πιθανοτικού αλγορίθμου. Επίσης, θα δούμε μια βελτίωση - γενίκευση του "Lovasz Local Lemma" που αποδείχτηκε αρχικά υπαρξιακά με μεθόδους της Στατιστικής Φυσικής, και θα δούμε στη συνέχεια και μια κατασκευαστική απόδειξη με τη χρήση του αλγορίθμου των R.Moser , G. Tardos. Να σημειώσουμε εδώ ότι μια από τις αποδείξεις που θα παρουσιαστούν και οφείλεται κυρίως στον R.Moser περιέχει μια ενδιαφέρουσα καινούργια γενική μέθοδο απόδειξης τερματισμού για πιθανοτικούς αλγορίθμους, η οποία μας δίνει δυναμική για περεταίρω έρευνα.

The purpose of this thesis is the study and analysis of randomized algorithms which lead to a constructive proof of the "Lovasz Local Lemma". This is a well-known result in probability theory since 1975, which is also quite useful in applications of the probabilistic method. The probabilistic method is a way to prove the existence of a combinatorial object using probability. Speci cally, consider the event that a random object (in some sample space) has a desired property. If we prove that the probability of this event to occur is non-zero, then it's existence is guaranteed. The Lovasz Local Lemma deals with problems in which there is a set of undesired properties. We can give as an example, the boolean CNF-SAT problem. In this setting, the random experiment is to assign random values to the boolean variables. The problem is to determine whether or not, there is a truth assignment that makes all clauses TRUE. So, for each clause, we de ne the possibility for it to be FALSE as the undesirable property. The Lovasz Local Lemma deals with instaces where there the events are not mutually independent, so an alternative proof would possibly be more complicated and harder. The initial form of the Lovasz Local Lemma was existential. That is, we could prove the existence of the object but we had no clue how to construct it. However, in many applications, including SAT, it is desirable to construct or compute the combinatorial object. In this thesis, we will study the recent (2010) proof of R.Moser and G.Tardos who proved that this is actually possible using a randomized algorithm. Moreover, we will see an improvement-generalization of the Lovasz Local Lemma initially proved existentially using methods of statistical physics, and it's constructive counterpart using the algorithm of R.Moser , G. Tardos. We should note here that one of the proof presented (attributed to R.Moser) contains an interesting new general method to prove the termination of a randomized algorithm under certain conditions. This gives us potential for further research.