Συνδυαστική θεωρία σχεδιασμών, κωδίκων και κρυπτογραφίας

Abstract

Στη διδακτορική αυτή διατριβή, μελετώνται συνδυαστικές κατασκευές διαφόρων κλάσεων σχεδιασμών καθώς και η ανάπτυξη σχετικών αλγόριθμων που βρισκούν εφαρμογή στους κλάδους της Θεωρίας Κωδίκων και της Κρυπτογραφίας. Στο πρώτο μέρος της διατριβής, ``Συνδυαστική Θεωρία Σχεδιασμών'', μελετώνται διάφορα είδη ακολουθιών με σταθερή αυτοσυσχέτιση και συνδυαστικών σχεδιασμών, εισάγονται νέες οικογένειες συνδυαστικών δομών, αποδεικνύονται ορισμένα θεωρήματα σχετικά με τις αναγκαίες και ικανές συνθήκες ύπαρξης και υλοποιείται ένα σχετικό λογισμικό για την εύρεση αυτών. Επιπρόσθετα, αναπτύσσεται μια σειρά συνδυαστικών αλγορίθμων βελτιστοποίησης για την εύρεση νέων ακολουθιών και σχεδιασμών. Ιδιαίτερα, παρουσιάζεται μια νέα μέθοδος υπολογισμού της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης για συμβατές ακολουθίες. Αποδεικνύεται μέσω μιας μελέτης της πολυπλοκότητας χείριστης περίπτωσης ότι η νέα μέθοδος είναι αποδοτική για ακολουθίες με μικρό βάρος. Αυτή η μέθοδος επιπλέον επιτρέπει τη μοντελοποίση μιας σειράς συνδυαστικών αλγορίθμων βελτιστοποίησης (mGA, FmGA, OmeGA) για την εύρεση νέων πινάκων στάθμισης, όπου οι ακολουθίες χρησιμοποιούνται ως ενδιάμεσα βήματα για την κατασκευή των σχεδιασμών. Επιπλέον, νέοι μη-ισοδύναμοι πίνακες Hadamard κατασκευάζονται από συμπληρωματικές ακολουθίες, μέσω ενός λογισμικού που υλοποιήθηκε ειδικά για αυτόν τον σκοπό. Επιπρόσθετα, νέες άπειρες οικογένειες ορθογώνιων σχεδιασμών και πίνακων στάθμισης κατασκευάζονται από συμπληρωματικές ακολουθίες, οι οποίες ανανεώνουν το Εγχειρίδιο των Συνδυαστικών Σχεδιασμών (Handbook of Combinatorial Designs) σε πολλές περιπτώσεις. Τέλος, εισάγεται ένα νέο κριτήριο για τριαδικές ακολουθίες με μηδενική μη-περιοδική συνάρτηση αυτοσυσχέτισης, η ζ-αποδοτικότητα, και μελετώνται διάφορες ιδιότητες της, καθώς και οι συνέπειες της στη Θεωρία Σχεδιασμών. Στο δεύτερο μέρος, ``Θεωρία Κωδίκων'', μελετώνται ορισμένες ειδικές οικογένειες κωδικών, όπως είναι για παράδειγμα οι αυτοδϋικοί και πολυκυκλικοί κώδικες, προτείνονται μέθοδοι κατασκευής αυτών από διάφορες κλάσεις σχεδιασμών, και υλοποιούνται γενετικοί αλγόριθμοι για την εύρεση των τιμών των παραμέτρων τους, στην περίπτωση των πολυκυκλικών κωδίκων. Ιδιαίτερα προτείνονται νέες μέθοδοι κατασκευής αυτοδϋικών κωδίκων πάνω από το GF(p) με τη χρήση πινάκων skew-Hadamard, και δίνεται μια πλήρης μελέτη πάνω από μικρά πεπερασμένα σώματα. Επιπλέον, νέοι αυτοδυϊκοί κώδικες με μεγάλο μήκος πάνω από το GF(5) βρίσκονται για πρώτη φορά, ενώ πάνω από το GF(7) παρουσιάζεται ένας νέος [56,28,17] αυτοδϋικός κώδικας, ο οποίος βελτιώνει το κάτω φράγμα στην ελάχιστη απόσταση όλων των αυτοδϋικών κωδίκων με τις ίδιες παραμέτρους. Επιπρόσθετα, μελετάται η συστηματική κατασκευή μέγιστης απόστασης διαχωρίσιμων αυτοδϋικών κωδίκων για μεγάλα πρώτα σώματα που προέρχονται από λύσεις διοφαντικών εξισώσεων. Στο τέλος αυτού του μέρους, μελετώνται δυαδικοί πολυκλικοί κώδικες από στατιστικούς σχεδιασμούς και αποδεικνύεται μια θεμελιώδης σχέση μεταξύ μιας βέλτιστης κλάσης αυτών των σχεδιασμών και των συμπληρωματικά δϋικών δυαδικών πολυκυκλικών κωδίκων. Στο τρίτο και τελευταίο μέρος της διατριβής, ``Κρυπτογραφία'', προτείνονται κρυπτοσυστήματα ιδιωτικού κλειδιού που προέρχονται από κλάσεις ορθογωνίων σχεδιασμών και κρυπτογραφικά σχήματα διαμοιρασμού μυστικού μηνύματος που κατασκευάζονται με τη χρήση σχεδιασμών Hadamard. Ιδιαίτερα, τα νέα συμμετρικά κρυπτογραφήματα δέσμης κατασκευάζονται από πίνακες Hadamard και σχηματισμούς Plotkin. Η μαθηματική δομή των τελευταίων σχεδιασμών επιτρέπει την υλοποίηση κρυπτογραφικών αλγορίθμων κατάλληλων για την κρυπτογράφηση και αποκρυπτογράφηση ενός μηνύματος. Μια εκτεταμένη κρυπτανάλυση αυτών των κρυπτογραφημάτων δείχνει ότι δεν παραβιάζεται η ασφάλεια τους από συγκεκριμένους τύπους κρυπτογραφικών επιθέσεων. Επιπλέον, διμερή κρυπτογραφικά σχήματα διαμοιρασμού μυστικού μηνύματος κατασκευάζονται από σχεδιασμούς Hadamard, που κάτω από ορισμένες προϋποθέσεις παρέχουν πλήρη ασφάλεια.

My Ph.D. Thesis involves the study of combinatorial constructions for several classes of combinatorial designs and the development of relevant algorithms that are applicable to the fields of Coding Theory and Cryptography. In the first part of the Thesis, entitled ``Combinatorial Design Theory'', different classes of sequences with constant autocorrelation and combinatorial designs are studied, new families of these combinatorial structures are introduced, theorems related to the necessary and sufficient conditions are proved, and a software for searching the later combinatorial objects is implemented. In addition, a series of competent evolutionary algorithms is developed for finding new sequences and designs. In particular, a new method for verifying the autocorrelation property of compatible sequences is presented. A worst-case complexity analysis shows that the new criterion is efficient for sequences of small weight. This method in addition allows the formulation of a series of combinatorial optimization algorithms (mGA, FmGA, OmeGA) for finding new weighing matrices, whereas the sequences are used as intermediate steps in the construction of the designs. Furthermore, new inequivalent Hadamard matrices are constructed from complementary sequences using a software developed specifically for this purpose. Moreover, new infinite families of orthogonal designs and weighing matrices are constructed from complementary sequences, which update the second edition of the CRC Handbook of Combinatorial Designs in several cases. Finally, a new measure for ternary complementary pairs, called ζ-efficiency is introduced and its consequences in Design Theory are thoroughly studied. In the second part, entitled ``Coding Theory'', some special families of codes are studied, namely the self-dual and quasi-cyclic codes, construction methods of the later codes are proposed using designs and genetic algorithms are utilized in the case of the quasi-cyclic codes for determining their parameters. In particular, new construction methods of self-dual codes over GF(p) using skew-Hadamard matrices are proposed, and a complete study over small finite fields is given. Moreover, new large self-dual codes over GF(5) are found for the first time, while over GF(7) a new [56,28,17] self-dual code is presented having the highest minimum distance among the class of self-dual codes. Furthermore, a systematic construction of MDS self-dual codes over large finite fields that arose from solutions of Diophantine equations is given. Last but not least, binary quasi-cyclic codes are studied from statistical designs and a fundamental relation between an optimal class of the later designs and complementary dual quasi-cyclic codes is illustrated. In the third and final part, entitled ``Cryptography'', private-key cryptosystems that arose from classes of combinatorial designs are proposed, and families of secret-sharing schemes are constructed with the aid of Hadamard designs. In particular, the new symmetric block ciphers are constructed from Hadamard matrices and Plotkin arrays. The mathematical structure of the later designs allows the design of cryptographic algorithms suitable for the encryption and decryption of a message. An extended cryptanalysis of these ciphers, shows that the ciphers are robust under certain types of attacks. Moreover, two-part secret sharing schemes are developed from Hadamard designs, which under certain conditions provide perfect secrecy.