Ανάλυση φορέων με την ισογεωμετρική μέθοδο

Abstract

Η παρούσα εργασία αποτελεί μια προσπάθεια εμβάθυνσης στις αρχές μιας νέας μεθόδου υπολογιστικής ανάλυσης φορέων, της Ισογεωμετρικής Μεθόδου. Η νέα μέθοδος προτάθηκε πριν από λίγα χρόνια και ενώ μοιράζεται ίδιες βασικές αρχές με την πλήρων εδραιωμένη μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων, διαφέρει ωστόσο σε κάποια βασικά της χαρακτηριστικά με αυτή. Αυτό έχει ως συνέπεια να παρουσιάζουν οι δυο μέθοδοι διαφορές σε είδη αναλύσεων, διαφορές που, σύμφωνα με τους ερευνητές που προτείνουν την Ισογεωμετρική Μέθοδο, καταδεικνύουν κάποια πλεονεκτήματα αυτής έναντι της μεθόδου των Πεπερασμένων Στοιχείων. Η Ισογεωμετρική Μέθοδος στηρίζεται σε δυο πυλώνες ως προς τον πυρήνα της θεωρίας της. Από τη μία χρησιμοποιεί τις ίδιες αρχές και τα ίδια βήματα με την μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων σε ότι αφορά την παρεμβολή του πεδίου των ζητούμενων μεγεθών ενός προβλήματος με μια βάση συναρτήσεων, εν συνεχεία την αριθμητική επίλυση του διακριτοποιημένου προβλήματος και, τέλος, την εξαγωγή των ζητούμενων μεγεθών. Βασικό στοιχείο αυτού του τμήματος είναι η αρχή της Ισοπαραμετρικότητας που χαρακτηρίζει και τις δυο μεθόδους (άλλωστε το πρώτο συνθετικό Ισο- του ονόματος της νέας μεθόδου, δόθηκε για αυτόν ακριβώς το λόγο). Το δεύτερο σκέλος της Ισογεωμετρικής Μεθόδου αφορά τη φύση των συναρτήσεων σχήματος που χρησιμοποιεί για τη σύνθεση της βάσης παρεμβολής του προβλήματος. Η μέθοδος εδώ χρησιμοποιεί τις αρχές του τομέα Υπολογιστικής Γεωμετρικής Σχεδίασης (Computer Aided Geometric Design CAGD) (για αυτό το λόγο και το δεύτερο συνθετικό του ονόματός της είναι –γεωμετρική). Ειδικότερα, βασική μορφή συναρτήσεων βάσης που χρησιμοποιείται στο CAGD είναι αυτή των συναρτήσεων NURBS (Non Uniform Rational B-Splines ελληνιστή Μη Ομοιόμορφες Ρητές Συναρτήσεις Παρεμβολής). Αυτή είναι η μορφή συναρτήσεων παρεμβολής που χρησιμοποιείται και στην Ισογεωμετρική Μέθοδο. Οι συναρτήσεις αυτές, αν και μοιράζονται θεμελιώδη χαρακτηριστικά με τις συναρτήσεις σχήματος των Πεπερασμένων Στοιχείων (από το γεγονός ότι πρόκειται επίσης για συναρτήσεις βάσης), ωστόσο έχουν και πολλές διαφορές, λόγω των οποίων προκύπτουν διαφορετικά αποτελέσματα, για τις δυο μεθόδους, σε κάποια είδη αναλύσεων. Προσπάθεια καταβλήθηκε στη διασαφήνιση των ορισμών που διέπουν την Ισογεωμετρική Μέθοδο, όσον αφορά το δεύτερο σκέλος και ειδικότερα τη θεωρία των συναρτήσεων NURBS. Καθώς, όμως, οι συναρτήσεις αυτές προκύπτουν ως απόρροια απλούστερων γεωμετρικών αρχών και απλούστερων γεωμετρικών οντοτήτων, προσπάθεια καταβλήθηκε η περιγραφή του δεύτερου σκέλους να είναι όσο το δυνατόν πιο πλήρης, ξεκινώντας από τις πιο απλές αυτές αρχές και καταλήγοντας στις συναρτήσεις NURBS. Για αυτό και στο τμήμα αυτό αφιερώνονται τα πρώτα οκτώ κεφάλαια της εργασίας. Το επόμενο κεφάλαιο αφορά τη διαδικασία προγραμματισμού της Ισογεωμετρικής Μεθόδου. Συνοπτικά περιγράφονται τα βασικά βήματα που ακολουθήθηκαν τονίζοντας και τις βασικές διαφορές που παρουσιάζονται εδώ σε σχέση με τον προγραμματισμό της Μεθόδου Πεπερασμένων Στοιχείων. Τέλος παρουσιάζονται αποτελέσματα από τις αναλύσεις με τον κώδικα που αναπτύχθηκε. Με τη βοήθεια αυτών των αναλύσεων κατέστη δυνατός ο έλεγχος της Ισογεωμετρικής Μεθόδου μέσω της σύγκρισης των αποτελεσμάτων της με αυτά που προκύπτουν από ευρέως χρησιμοποιούμενο λογισμικό Πεπερασμένων Στοιχείων. Επίσης, οι αναλύσεις αυτές βοήθησαν στην πλήρη αποσαφήνιση σκοτεινών σημείων της νέας Μεθόδου και στην αποκάλυψη των μεγάλων δυνατοτήτων που προκύπτουν από την υιοθέτησή της. Η συγκεντρωτική παράθεση μερικών από τα παραπάνω συμπεράσματα καθώς και προτάσεων για μελλοντική έρευνα ολοκληρώνουν την εργασία.