Εφαρμογές των Τοπολογικών και Αλγεβρικών Ιδιοτήτων του Χώρου των Υπερφίλτρων στη Συνδυαστική

Abstract

Η παρούσα διπλωματική εργασία έχει ως κύριο αντικείμενο μελέτης τα υπερ- φίλτρα και τις εφαρμογές αυτών. Τα υπερφίλτρα έκαναν την εμφάνιση τους για πρώτη φορά στις αρχές του 20ου αιώνα μέσα από μία εργασία του Riesz [15] η οποία είχε ως αντικείμενο μελέτης την έννοια της συνέχειας και της εγγύτητας. Από το- πολογική σκοπιά μία έννοια σύγκλισης βασισμένη στα υπερφίλτρα (όπως και στα δίκτυα) φάνηκε ότι μπορεί να χαρακτηρίσει έννοιες όπως η συνέχεια, η κλειστότητα και η συμπάγεια σε γενικούς τοπολογικούς χώρους (σε αντίθεση με τις ακολουθίες). Επιπλέον τα υπερφίλτρα βρήκαν εφαρμογές σε πολλούς και φαινομενικά ανεξάρτη- τους τομείς των μαθηματικών, ενώ παράλληλα ανέδειξαν συνδέσεις μεταξύ κλάδων όπως η θεωρία μέτρου, η λογική, οι άλγεβρες Boole, η θεωρία μοντέλων και βεβαίως η τοπολογία από όπου και γεννήθηκαν. Στο κείμενο θεμελιώνονται αρχικά οι βασικές ιδιότητες των υπερφίλτρων και στην συνέχεια μελετώνται οι τοπολογικές ιδιότητες της Stone Ĉech συμπαγοποίη- σης ενός διακριτού τοπολογικού χώρου S που μπορεί να θεωρηθεί φυσιολογικά ως ο χώρος των υπερφίλτρων του S. Ύστερα αναπτύσσονται βασικές έννοιες και θεωρήματα της αλγεβρικής θεωρίας των ημιομάδων τα οποία και εφαρμόζονται για να εξαχθούν κάποια αποτελέσματα σχετικά με την αλγεβρική δομή της Stone Ĉech συμπαγοποίησης μίας διακριτής ημιομάδας. Τέλος γίνεται χρήση των προ- αναφερθέντων προς απόδειξη κάποιων θεωρημάτων της θεωρίας Ramsey όπως το Finite Sums Theorem του Hindman [9], το θεώρημα Hales-Jewett[7] και το θεώρημα van der Waerden [22]. Πιο αναλυτικά τα κεφάλαια περιλαμβάνουν τα εξής: Εισαγωγή: Τοπολογικές Ιδιότητες και Σύγκλιση Σε αυτό το πρώτο κεφάλαιο πρώτα παρατίθενται χωρίς απόδειξη βασικοί ορισμοί και θεωρήματα της θεωρίας της Τοπολογίας που αφορούν έννοιες όπως οι βάσεις περιοχών, το εσωτερικό συνόλου, η κλειστότητα συνόλου, η συμπάγεια, η συνέχεια συναρτήσεως, η επαγόμενη τοπολογία και η τοπο- λογία γινόμενο. Στην συνέχεια δίνεται μία όμορφη τοπολογική απόδειξη της απειρίας των πρώτων αριθμών η οποία οφείλεται στον Furstenberg [6]. Τέ- λος γίνεται μία μελέτη της ικανότητας των ακολουθιών στον χαρακτηρισμό ιδιοτήτων όπως η συνέχεια η συμπάγεια και η κλειστότητα και δείχνεται ότι αυτές δεν επαρκούν στην περίπτωση γενικών τοπολογικών χώρων. Υπερφίλτρα και Εφαρμογές Αφού δοθεί ο κλασικός τοπολογικός ορισμός των φίλτρων και των υπερφίλ- τρων, παραθέτονται κάποια παραδείγματα και αποδεικνύονται βασικές ιδιό- τητες όπως π.χ το γεγονός ότι κάθε οικογένεια συνόλων που ικανοποιεί την ιδιότητα της πεπερασμένης τομής μπορεί να επεκταθεί σε ένα υπερφίλτρο. Στην συνέχεια ορίζεται η έννοια της σύγκλισης ενός φίλτρου και αποδεικνύ- εται ότι αυτή ανεξαρτήτως τοπολογίας μπορεί να χαρακτηρίσει όλες οι ση- μαντικές ιδιότητες όπως η συνέχεια συναρτήσεως και η συμπάγεια. Ύστερα αφού οριστεί η έννοια του φίλτρου γινομένου, δίνεται μία απόδειξη του γνω- στού θεωρήματος Tychonoff. Αφού δοθεί ο ορισμός της Stone Ĉech συμπα- γοποίησης ενός τελείως κανονικού χώρου, αποδεικνύεται ότι αν το σύνολο των υπερφίλτρων ενός διακριτού χώρου εφοδιαστεί με την Stone τοπολο- γία δηλαδή την τοπολογία που έχει ως βάση τα σύνολα της μορφής b A = f U j A 2 U g, ο τοπολογικός χώρος που προκύπτει είναι ομοιομορφικός με την Stone Ĉech συμπαγοποίηση του αρχικού χώρου. Εν συνεχεία δίνεται μία αντιστοιχία μεταξύ των υπερφίλτρων σε ένα σύνολο των δίτιμων πεπερα- σμένα αθροιστικών μέτρων και των γενικευμένων ποσοδεικτών που επιμερί- ζονται με όλους τους λογικούς συνδέσμους. Τέλος αποδεικνύεται η αντιστοι- χία μεταξύ υπερφίλτρων U και ομοιόμορφων U-ορίων τα οποία δείχνεται ότι είναι το ίδιο αποτελεσματικά και ευέλικτα με τα δίκτυα. Ημιομάδες, Ιδεώδη και Ταυτοδύναμα Στοιχεία Αφού δοθούν κάποιοι βασικοί ορισμοί της Θεωρίας Ημιομάδων, η μελέτη επι- κεντρώνεται στις ιδιότητες των ταυτοδύναμων στοιχείων και των μονόπλευ- ρων και δίπλευρων ιδεωδών. Συγκεκριμένα δίνονται ικανές συνθήκες ώστε τα ελαχιστικά μονόπλευρα και ελάχιστα δίπλευρα ιδεώδη να περιέχουν ταυ- τοδύναμα στοιχεία. Στην συνέχεια ορίζεται μία διάταξη στα ταυτοδύναμαστοιχεία μιας ημιομάδας και χαρακτηρίζονται τα ελαχιστικά ταυτοδύναμα ως προς αυτή. Το κεφάλαιο κλείνει με την απόδειξη του Θεωρήματος Δομής 3.74 που οφείλεται στον Suschkewitsch [20] για την πεπερασμένη περίπτωση και τον Rees [14] για την άπειρη. Η Stone Ĉech Συμπαγοποίηση μιας Διακριτής Ημιομάδας Αρχικά δίνεται ο ορισμός των δεξιά τοπολογικών ημιομάδων και στην συνέ- χεια αποδεικνύεται ότι κάθε συμπαγής δεξιά τοπολογική ημιομάδα έχει του- λάχιστον ένα ταυτοδύναμο στοιχείο. Κάνοντας χρήση των αποτελεσμάτων του Κεφαλαίου 3 χαρακτηρίζονται πλήρως τα ελαχιστικά μονόπλευρα ιδε- ώδη και τα ελαχιστικά ταυτοδύναμα που περιέχουν. Στην συνέχεια η πράξη μίας ημιομάδας S επεκτείνεται στην Stone Ĉech συμπαγοποίηση της βS κά- νοντας χρήση της χαρακτηριστικής ιδιότητας της μοναδικής συνεχούς επέ- κτασης. Μετά από την απόδειξη της προσεταιριστικής ιδιότητας της επέ- κτασης από όπου βγαίνει το συμπέρασμα ότι η βS είναι μια συμπαγής δεξιά τοπολογική ημιομάδα εξετάζονται οι διάφοροι τρόποι με τους οποίους νο- είται η επεκτεταμένη πράξη μεταξύ των υπερφίλτρων στοιχείων της ΒS. Το κεφάλαιο κλείνει με δύο αποδείξεις μίας γενικευμένης μορφής του Finite Sums Theorem του Hindman [9] στις οποίες γίνεται χρήση του γεγονότος ύπαρξης ταυτοδύναμου στοιχείου στην βS. Το Θεώρημα των Hales-Jewett Στο τελευταίο αυτό κεφάλαιο δίνεται μία απόδειξη του Θεωρήματος Hales- Jewett [7] κάνοντας επιπλέον χρήση και της διάταξης των ταυτοδύναμων στοιχείων. Στην συνέχεια εξάγονται ως πόρισμα τα θεωρήματα των van der Waerden [22] και Rado [13].

The subject of this diploma thesis is ultrafilters and their applications. Ultrafilters made their first appearance at the beginning of the 20th century in a paper of Riesz [15] concerning the continuity and the notion of “nearness”. From a topological point of view the convergence of ultrafilters (as nets) has the capability to characterize concepts like the closure of a set, the continuity of functions and the compactness in abstract topological spaces. Furthermore, ultrafilters have found applications in many fields of Mathematics such as Measure eory, Logic, Boolean Algebra, Model eory and of course Topology from, which they originate, providing a link between them. In this text aer the introduction of the basic definitions and the examination of the most essential properties of ultrafilters, the Stone Ĉech compactification S of a discrete space S is being studied. Subsequently, some of the theory of Semigroups is developed and then applied in the study of the algebraic structure of the Stone Ĉech compactification of a discrete semigroup. Finally the Finite Sums eorem Hindman, the Hales-Jewe eorem [7] and the Van De Waerden eorem [22] are proved. More specifically the content of each chapter is as follows: Chapter 1: Topological Introduction is chapter starts with a presentation of the basic definitions and some of the most fundamental theorems of Topology. For example notions such as the closure of a set, compactness, the product topology and the continuityof a function are defined and some of their properties are exposed. Aer the description of a beautiful topological proof of the infinitude of Primes due to Furstenberg [6], the power of characterization of properties by means of sequence convergence is explored to conclude that these fail to achieve this goal in abstract topological spaces. Chapter 2: Ultrafilters Aer the classic topological definition of filters and ultrafilters some of the basic properties are presented and proved, such as the fact that every family of subsets of a set that has the Finite Intersection Property can be expanded to an ultrafilter. Subsequently, the notion of filter convergence and the image of a filter through a function are defined and it is shown that these are sufficient for characterizing concepts like continuity, compactness and the closure of a set in abstract topological spaces. Next, the definition of the product filter is presented and the Tychonoff eorem is proved using the theory of ultrafilters. Aer the definition of the Stone Ĉech compactification X of a completely regular Hausdorff space X, it is shown that in the case of a discrete space S its Stone Ĉech compactification S is homeomorphic to the space of ultrafilters of S with the Stone topology, whose basic open sets are exactly those of the form b A = f U j A 2 U g, where the symbol U symbolizes an ultrafilter on S. Subsequently, a description of a 1 􀀀 1 correspondence between ultrafilters, 0 􀀀 1 finitely additive measures and generalized quantifiers which distribute with all propositional connectives is provided. Finally the notion of uniform limit is defined and is shown that it is as versatile as the notion of nets. Chapter 3: Semigroups In this chapter the basic definition and properties of the eory of Semigroups is presented with more aention paid on the concepts of idempotent elements, one-sided and two-sided Ideals. Aer some theorems which give necessary conditions for an one-side ideal to contain an idempotent element, a partial order is defined on the set of idempotents of a semigroup and a characterization of those that are minimal with respect to this order is given. e chapter closes with the proof of the Structure eorem 3.74 which we owe to Suschkewitsch [20] for the finite case and Rees [14] for the infinite case. Chapter 4: e Stone Ĉe Compactification of a Discrete Semigroup Aer a brief presentation of the topological hierarchy of algebraic structures equipped with a topology the focus is given at right topological semigroups. It is proved that the set of the idempotent elementsof a compact right topological semigroup it is always non void. is fact has as a consequence that for every idempotent e 2 S there exists minimal idempotent f with f e. Subsequently the operation of a discrete semigroup is expanded by the fundamental property of the Stone Ĉech compactification to the entire space S and it is proved that it becomes a compact right topological semigroup. Aer a presentation of the various ways in which someone can understand the operation between ultrafilters (which are the elements of S), two proofs are given concerning a generalization of Hindmans Finite Sums eorem [9] using the fact that there exist an idempotent ultrafilter. Chapter 5: e eorem of Hales-Jewett In this last chapter, by using the results which concern minimal idempotent elements in compact right topological semigroups a proof of the well known eorem of Hales-Jewe [7] is presented.The chapter ends with a proof of Van De Waerdens eorem [22] and Gallais eorem for abelian groups