Το ευθύ πρόβλημα πολλαπλής σκέδασης ακουστικών κυμάτων και η αριθμητική του επίλυση σε περιβάλλον mathematica

Abstract

Σκοπός της παρούσας διπλωματικής εργασίας είναι η μελέτη της μαθηματιής θεωρίας της πολλαπλής σκέδασης και ειδικότερα του ευθέως προβλήματος πολλαπλής σκέδασης των ακουστικών κυμάτων.

Στο πρώτο κεφάλαιο, παρουσιάζουμε συνοπτικά μερικές βασικές έννοιες της θεωρίας σκέδασης.

Στο δεύτερο κεφάλαιο, εισάγουμε τον αναγνώστη στην θεωρία της απλής σκέδασης για το ευθύ πρόβλημα, παρουσιάζουμε την εξίσωση Helmholtz και αναφέρουμε ορισμένα θεωρήματα και ορισμούς που αποτελούν βασικά εργαλεία της θεωρίας σκέδασης.

Στο τρίτο και τέταρτο κεφάλαιο προχωρούμε στην εκτενή μελέτη των προσθετικών θεωρημάτων στις δύο και στις τρεις διαστάσεις, τα οποία αποτελούν τα βασικά εργαλεία της θεωρίας πολλαπλής σκέδασης σε σχέση με την εύρεση λύσεων για σκέδαση απλής γεωμετρίας.

Στο πέμπτο κεφάλαιο παρουσιάζουμε την μέθοδο χωρισμού μεταβλητών η οποία επιλύει επιτυχώς προβλήματα με κυλινδρικούς και σφαιρικούς σκεδαστές, μη διαπερατούς οι οποίοι πληρούν τις συνοριακές συνθήκες Dirichlet (ηχητικά μαλακοί) ή/και Neumann (ηχητικά σκληροί).

Στο έκτο κεφάλαιο ολοκληρώνουμε τη μελέτη μας με ορισμένες υπολογιστικές εφαρμογές. Επιλύουμε το ευθύ πρόβλημα πολλαπλής σκέδασης στις δύο διαστάσεις με δύο εμπόδια τα οποία έχουν σχήμα κυκλικών κυλίνδρων, παρουσιάζουμε τα γραφήματα του μέτρου της έντασης του ολικού σκεδασμένου πεδίου καθώς και συγκριτικά διαγράμματα για πληθώρα παραμέτρων. Η αριθμητική επίλυση έγινε σε περιβάλλον Mathematica.

In this diploma thesis the purpose is the study of the direct multiple scattering theory in acoustics.

The first chapter is an introduction to the theory of scattering.

In the second chapter we present the direct scattering theory, the Helmholtz equation and we refer to several theorems and definitions useful in scattering theory.

In the third and forth chapter we deal with the multiple scattering problem using addition theorems in the two and three dimentions.

In the fifth chapter we present the method based on separation of variables that solve the Dirichlet (sound soft scatterers) or Neumann (sound hard scatterers) problem for circular cylinders and spheres.

In the sixth chapter we finish our work by a numerical implementation. We solve the direct multiple scattering problem for two circular cylinders on Dirichlet boundary conditions. We present the parametric and polar plots of the scattered field and the total field. We also present comparative diagrams for several parameters. The numerical approximation has been done using Mathematica 8.