Επίλυση προβλημάτων θεωρίας γραφημάτων με έμφαση στην απεικόνισή τους

Abstract

Δύο προβλήματα της Απεικόνισης Γραφημάτων αποτελούν το αντικείμενο αυτής της διατριβής. Στο πρώτο πρόβλημα, που ονομάζεται Ανερχόμενη Εμφύτευση σε Σύνολο Σημείων, το δεδομένο γράφημα ζητείται να εμφυτευτεί με ανερχόμενο και επίπεδο τρόπο σε ένα δεδομένο σύνολο σημείων του επιπέδου. Στο δεύτερο, που ονομάζεται Ανερχόμενη Εμφύτευση σε Βιβλίο, ο στόχος είναι να ζωγραφίσουμε το γράφημα έτσι ώστε οι κορυφές του να είναι τοποθετημένες σε μια προσανατολισμένη ευθεία και οι ακμές του να αναπαρίστανται από μονότονα αύξουσες καμπύλες στην κατεύθυνση της ευθείας αυτής. Τα προβλήματα αυτά βρίσκουν εφαρμογές στην διαχείριση έργων, κατασκευή διαγραμμάτων PERT και σχεδιασμό των κυκλωμάτων VLSI. Επιπλέον, εφαρμόζονται για την απεικόνιση της ιεραρχικής δομής των κατευθυνόμενων γραφημάτων, όπου ζητούνται κάποιο περιορισμοί στην τοποθέτηση των κορυφών. Στο Κεφάλαιο1, δίνουμε μια σύντομη εισαγωγή στο πεδίο της Απεικόνισης Γραφημάτων και παρουσιάζουμε τα προβλήματα που μελετούνται σε αυτή την διατριβή. Στο Kεφάλαιο 2, μελετάμε τις ανερχόμενες εμφυτεύσεις σε σύνολα σημείων. Αρχικά, συγκεντρωνόμαστε σε κατευθυνόμενα δέντρα και κυρτά σύνολα σημείων. Αποδεικνύουμε ότι υπάρχουν μερικές οικογένειες δέντρων που είναι ανερχόμενα και επίπεδα εμφυτεύσιμες σε οποιοδήποτε κυρτό σύνολο σημείων. Εναλλακτικά, δείχνουμε ότι υπάρχει μια οικογένεια δέντρων που δεν επιδέχεται καμία ανερχόμενη επίπεδη εμφύτευση σε ένα κυρτό σύνολο σημείων. Στη συνέχεια, αποδεικνύουμε ότι μπορεί να αποφανθεί σε πολυωνυμικό χρόνο αν ένα κατευθυνόμενο δέντρο είναι ανερχόμενα και επίπεδα εμφυτεύσιμο σε ένα δεδομένο κυρτό σύνολο σημείων. Το αποτέλεσμα αυτό επεκτείνεται στην κλάση των εξωεπίπεδων κατευθυνόμενων γραφημάτων. Δηλαδή, παρουσιάζουμε έναν πολυωνυμικό αλγόριθμο, που δεδομένου ενός κατευθυνόμενου εξωεπίπεδου γραφήματος και ενός κυρτού συνόλου σημείων αποφασίζει αν υπάρχει μια ανερχόμενα επίπεδη εμφύτευσή του στο σύνολο σημείων. Επειδή κάθε γράφημα που επιδέχεται μια επίπεδη εμφύτευση σε ένα κυρτό σύνολο σημείων αποτελεί ένα εξωεπίπεδο γράφημα, το τελευταίο αποτέλεσμα ολοκληρώνει την μελέτη του προβλήματος για τα κυρτά σύνολα σημείων.Στη συνέχεια, μελετάμε γενικά σύνολα σημείων και προσανατολισμένα μονοπάτια. Αποδεικνύουμε ότι κάθε προσανατολισμένο μονοπάτι με n κορυφές επιδέχεται μια ανερχόμενη επίπεδη εμφύτευση σε κάθε σύνολο O(n2) σημείων. Τέλος, αποδεικνύουμε ότι το γενικό πρόβλημα απόφασης για το αν ένα ανερχόμενα επίπεδο γράφημα επιδέχεται μια ανερχόμενα επίπεδη εμφύτευση σε ένα σύνολο σημείων είναι NP-πλήρες. Το Kεφάλαιο 3 είναι αφιερωμένο στην μελέτη των εμφυτεύσεων σε βιβλίο. Πιο συγκεκριμένα, μελετάμε το πρόβλημα της ελαχιστοποίησης των τομών των ακμών με την ράχη του βιβλίου. Για να απλοποιήσουμε την μελέτη, εισάγουμε το πρόβλημα της Ακυκλικής Πλήρωσης κατά Χάμιλτον με Ελαχιστοποίηση των Τομών (για συντομία Acyclic-HPCCM). Πρώτα αποδεικνύουμε την ισοδυναμία του προβλήματος της ελαχιστοποίησης των τομών των ακμών με την ράχη του βιβλίου, και του προβλήματος Acyclic-HPCCM. Στη συνέχεια επιλύουμε το πρόβλημα Acyclic-HPCCM για την κλάση των εξωεπίπεδων st-γραφημάτων. Ως ειδική περίπτωση, μελετάμε αν το πρόβλημα Acyclic-HPCCM μπορεί να λυθεί χωρίς τομές. Αποδεικνύουμε ότι αυτό μπορεί να γίνει για τα N-ελεύθερα κατευθυνόμενα γραφήματα και να αποφανθεί σε πολυωνυμικό χρόνο για ανερχόμενα επίπεδα γραφήματα περιορισμένου πλάτους. Τέλος, μελετάμε τις ρ-περιορισμένες ανερχόμενες εμφυτεύσεις σε βιβλίο, δηλαδή τις εμφυτεύσεις όπου η σειρά με την οποία οι κορυφές εμφανίζονται στη ράχη του βιβλίου δίνονται ως μέρος της εισόδου. Τα αποτελέσματα που παρουσιάζουμε βελτιώνουν τα όρια που δόθηκαν από τους Giordano,Liotta και Whitesides. Στο Kεφάλαιο 4, παρουσιάζουμε ένα γραφοθεωρητικό αποτέλεσμα που αφορά τους μονοσυνεκτικούς προσανατολισμούς των μεικτών γραφημάτων. Δίνουμε τον πρώτο αλγόριθμο απόφασης, που δεδομένου ενός μεικτού γραφήματος, αποκρίνεται αν αυτό έχει έναν μονοσυνεκτικό προσανατολισμό. Στη συνέχεια, επεκτείνουμε την ιδέα μας παρουσιάζοντας έναν αλγόριθμο που ελέγχει αν ο υπάρχον μονοσυνεκτικός προσανατολισμός είναι μοναδικός, δίνοντας μερική απάντηση στην ερώτηση που τέθηκε από την Pascovici.

In this thesis, we study two kinds of hierarchical layouts for upward planar digraphs. In the first one, called Upward Point Set Embedding, we are given an upward planar digraph and a point set on the plane and we are asked to find a correspondence between the vertices of the graph and the points of the point set so that the resulting straight-line drawing is upward and planar. In the second one, called Upward Topological Book Embedding, we are given an upward planar digraph and we are asked to find an upward planar drawing of it so that all its vertices lie on a single line and the edges are represented by curves monotonically increasing in the direction of this line. The two types of embeddings find applications in fields like project management, construction of PERT diagrams and VLSI circuit layouts. They can be also utilized in the visualization ohierarchies in directed graphs, where constraints on the positions of vertices are also required. In the first chapter, we give a brief introduction to the field of Graph Drawing and present the problems studied in this thesis. In the second chapter, we study upward point set embeddings. We first concentrate on directed trees and convex point sets. We show that there are several families of trees that always admit an upward planar drawing into every convex point sets. On the other hand, weprove that there is a family of trees that does not admit such drawing on some convex point set. Then, we prove that it can be tested in polynomial time whether a given tree admits an upward planar embedding into a given convex point set. This results is then extended to the class of outerplanar digraphs, i.e. we show that it can be tested in polynomial time whether a given outerplanar digraph admits an upward planar embedding into a given convex point set. Since each graph admitting a planar drawing on a convex point set is an outerplanar graph, this result concludes the study of upward planar point set embeddings for convex point sets. Then, we concentrate on general point sets and on oriented paths. We prove that every oriented path with n vertices admits an upward straight-line embedding into every general point set of O(n2) points. Finally, we prove that it is NP-hard to determine whether an upward planar digraph admits and upward point set embedding on a given point set. The third chapter is devoted to the study of upward book embeddings. More specifically, we study the problem of spine-crossing minimization in upward topological book embeddings. In order to simplify its study, we introduce the problem of Acyclic Hamiltonian Path Completion with Crossing Minimization (Acyclic-HPCCM for short). We first show an equivalence between the Acyclic-HPCCM problem and the problem of obtaining an upward topological 2-page book embeddings with minimum number of spine crossings. Then, we solve the Acyclic-HPCCM problem for the class of outerplanar st-digraphs. We also examine whether the Acyclic-HPCCM problem can be solved with zero crossings. We show that it can be efficiently solved for embedded N-free digraphs and for bounded-width digraphs. Finally, we study ρ-constrained upward topological book embeddings, i.e. topological book embeddings where the order of the vertices in which they appear on the spine is given as a part of the input. We provide a worst-case optimal upper bound on the number of spine crossings per edge which improves the bound given by Giordano, Liotta and Whitesides. Finally, in the fourth chapter, we present a graph-theoretical result concerning unilateral orientations of mixed graphs. We present the first recognition algorithm for unilaterally orientable mixed graphs. Based on this algorithm we derive a polynomial time algorithm for testing whether a unilaterally orientable mixed graph has a unique unilateral orientation, partially resolving a reported open problem by Pascovici.