Μη γραμμική ανάλυση ευστάθειας πλαισίων με μέλη μεταβλητής δυσκαμψίας

Abstract

Η παρούσα εργασία εξετάζει προβλήματα μη γραμμικής συμπεριφοράς επίπεδων πλαισιακών φορέων από χάλυβα με βάση τη θεωρία της ελαστικής ευστάθειας. Η φέρουσα συμπεριφορά των κατασκευών έναντι ευστάθειας επισημαίνεται στη διεθνή βιβλιογραφία ως μείζονος σημασίας. Επιπλέον, όταν εισάγονται κατασκευαστικές διατάξεις ή ατέλειες το πρόβλημα γίνεται περισσότερο απαιτητικό και συνάμα αρκετά ενδιαφέρον. Στόχος της εργασίας είναι να εμβαθύνει στα φαινόμενα μη γραμμικής συμπεριφοράς ατελών φορέων με μέλη μεταβλητής δυσκαμψίας.

Στο πρώτο κεφάλαιο παρουσιάζεται ο κυβικός νόμος μεταβολής της ροπής αδρανείας διατομών διπλού ταυ και η επίλυση της διαφορικής εξίσωσης μέλους υπό θλίψη με τις συναρτήσεις Bessel. Έπειτα, εξάγονται οι αναλυτικές σχέσεις σύμφωνα με τη γραμμική θεωρία ελαστικής ευστάθειας για διάφορες περιπτώσεις λυγισμού πλαισίων με ή χωρίς μετάθεση και τα αποτελέσματα συνοψίζονται στα αντίστοιχα διαγράμματα κρίσιμων φορτίων καθώς και μηκών λυγισμού.

Στο δεύτερο κεφάλαιο, αφού γίνει αναφορά στην ενεργειακή μέθοδο, αναπτύσσεται η θεωρία μετρίως μεγάλων μετατοπίσεων και εξάγονται οι σχέσεις που περιγράφουν τη μη γραμμική συμπεριφορά του πλαισιακού φορέα έναντι καμπτικού λυγισμού. Εν συνεχεία, επισυνάπτονται παραμετρικές συγκρίσεις μεταξύ των δρόμων ισορροπίας, οι οποίοι εξήχθησαν μέσω αλγορίθμων στη γλώσσα προγραμματισμού Fortran, ενώ γίνεται και η σύγκριση με τις αντίστοιχες γραμμικές λύσεις. Τέλος, διερευνάται η επιρροή αρχικών ατελειών και συγκεκριμένα της έκκεντρης φόρτισης στη φέρουσα ικανότητα του πλαισίου, απ’ όπου λαμβάνονται ενδιαφέροντα συμπεράσματα που αφορούν συστήματα που χάνουν την ευστάθειά τους μέσω σημείου διακλάδωσης.

Στο τρίτο κεφάλαιο βελτιώνεται η προσομοίωση του μοντέλου με την εισαγωγή ενός στροφικού και έπειτα ενός μετακινησιακού ελατηρίου. Με τον τρόπο αυτό δύναται να μελετηθεί φορέας με ακριβής συνοριακές συνθήκες ώστε να προσεγγίζεται η πραγματική φέρουσα ικανότητα ενός πλαισίου μιας κατασκευής. Ακόμα, επισημαίνονται οι δυσκολίες της επίλυσης του προβλήματος, οπότε προτείνεται μία απλοποιητική προσέγγιση που, όμως, δεν πρέπει να εισάγει σημαντικά σφάλματα.

Στο τελευταίο κεφάλαιο ερευνάται η αξιοπιστία της ενεργειακής μεθόδου καθώς και του κυβικού νόμου μεταβολής της δυσκαμψίας μέσω λογισμικών πεπερασμένων στοιχείων (Sap2000 και Adina) με γραμμικές και μη γραμμικές αναλύσεις. Περιγράφονται οι τρόποι προσομοίωσης των φορέων και ακολουθούν οι συγκρίσεις για ένα ευρύ φάσμα διάφορων παραμέτρων. Τα αποτελέσματα επισυνάπτονται σε συγκριτικούς πίνακες και διαγράμματα δρόμων ισορροπίας των μη γραμμικών αναλύσεων, όπου γίνεται εμφανέστερη η πραγματική συμπεριφορά της κατασκευής.

The present thesis examines problems related to the non-linear behaviour of plane steel frames according to the theory of elastic stability. In the literature the load behaviour of structures against stability is noted as major importance. Furthermore, when construction provisions or defects are imported the problem becomes more challenging and also more interesting. The aim of this thesis is to deepen the effects of non-linear behavior of imperfect frames with members of variable stiffness.

The first chapter presents the cubic law variation of the moment of inertia of double tee sections and the solution of the differential equation of a member under compression with Bessel functions. Then the analytical relations are exported according to the linear theory of elastic stability for various buckling cases of frames with or without transfer. The results are summarized in the respectively diagrams of critical loads and effective buckling lengths.

In the second chapter, after a reference to the energy method, the theory of moderately large displacements is developed and the relations describing the nonlinear behaviour of the frame under flexural buckling are exported. Subsequently, parametric comparisons between the entire (prebuckling and postbuckling) equilibrium paths are attached. Those were exported via algorithms in Fortran programming language. Also, the comparison with the corresponding linear solutions were made. Finally, the influence of initial imperfections, specifically the loading eccentricity, is investigated about the frames load behaviour. There we obtain interesting results concerning systems which lose their stability through a bifurcational point.

In the third chapter we improve the simulation of the model by introducing a torsional and then a translational spring. In this way frames with accurate boundary conditions may be considered so that the actual load carrying capacity of a plane-frame -which is included in a structure- can be approximated. Furthermore, the difficulties of solving this problem are highlighting, so a simplified approach is proposed, which, however, should not introduce significant errors.

The last chapter presents the investigation about the reliability of both the energy method and the cubic law of stiffness variation, through finite element software (Sap2000 and Adina) with linear and nonlinear analysis. Herein the simulation of the plane-frames is described, and the comparisons are following with a wide range of various parameters. The comparative results are attached in both tabular and graphical form. Especially, from the non-linear equilibrium paths becomes apparent the actual behaviour of the construction.