Αριθμητικές Συναρτήσεις & Η Συνάρτηση ζ του Riemann

Abstract

Η παρούσα πτυχιακή εργασία αποτελεί μια εισαγωγή σε βασικές έννοιες της Θεωρίας Αριθμών. Πιο συγκεκριμένα μελετάμε τις αριθμητικές συναρτήσεις και την συνάρτηση ζ του Riemann, και τέλος προσπαθήσαμε να συνδέσουμε τις δύο αυτές έννοιες. Στο πρώτο κεφάλαιο παραθέτουμε τους βασικούς ορισμούς της Θεωρίας Αριθμών, όπως αυτούς των πρώτων αριθμών, των αριθμητικών συναρτήσεων και κάποια σημαντικά θεωρήματα όπως το Μικρό Θεώρημα του Fermat, το Θεώρημα Auler- Fermat και αυτό του Legendre. Στο δεύτερο κεφάλαιο εξετάζουμε κάποιες πολύ γνωστές αριθμητικές συναρτήσεις, όπως αυτη του Euler, του Mobius και τις συναρτήσεις των διαιρετών, όπως είναι η τ(n) και η σ(n). Στη συνέχεια αποδεικνύουμε βασικές ιδιότητες τους και εξετάζουμε αν είναι πολλαπλασιαστικές. Το τρίτο κεφάλαιο εξετάζει τις συναρτήσεις π(x) και li(x), που αν και δεν είναι αριθμητικές συναρτήσεις παρουσιάζουν ενδιαφέρον στην μελέτη των πρώτων αριθμών. Επίσης δίνουμε ένα αριθμητικό φράγμα για την π(x) μέσω μιας ανισότητας και το αποδεικνύουμε. Με το τρίτο κεφάλαιο ολοκληρώνεται το μέρος της Θεωρίας Αριθμών και προχωράμε στην Αναλυτική Θεωρία Αριθμων μελετώντας την συνάρτηση ζ και την εικασία του Riemann. Αναλυτικότερα, στο τέταρτο κεφάλαιο βλέπουμε τα βασικά σημείας της εργασίας του Riemann με τίτλο “On the Number of Primes less than a Given Magnitude” και πως καταλήγει στην καλύτερη προσέγγιση της συνάρτησης π(x). Υπολογίζουμε αριθμητικές τιμές της ζ για το 2 και για κάθε άρτιο, και τέλος βλέπουμε μία εφαρμογη της. Στη συνέχεια, το πέμπτο κεφάλαιο αναφέρεται στην Εικασία του Riemann με την βοήθεια της συνάρτησης ξ(x). Εν συνεχεία αποδεικνύουμε μέσω εργαλείων ασυμπτωτικής ανάλυσης μια αναγκάια συνθήκη της Εικασίας. Τέλος, στο έκτο κεφάλαιο βλέπουμε την συνάρτηση ζ σαν γεννήτρια συνάρτηση και τη σχέση της με τις αριθμητικές συναρτήσεις. Με αυτό τον τρόπο συνδέονται τα δύο μέρη της διπλωματικής εργασίας και κλείνει η εργασία.

The primary objective in my diploma thesis is to make an introduction to Arithmetic Functions and to Riemann’s Zeta Function. The first chapter is introductory and contains the basic definitions and theorems in Number Theory. The second chapter is about the basic arithmetic functions, such as the function of Euler and Mobius. The third chapter focuses on functions π(x) and li(x), so we can study the distribution of prime numbers on the set of real numbers. However, the first three chapters concern Number Theory, unlike the last three chapters, where we deal with Analytic Number Theory, by introducing the Riemann’s Zeta function and the Riemann Hypothesis. Specifically, the forth chapter focuses on the basic points of Riemann’s paper “On the Number of Primes Less than a Given Magnitude” and we compute some arithmetic values for the Riemann Zeta Function. Moreover, the objective of the fifth chapter is the Riemann Hypothesis and the proof of a sufficient condition of the Hypothesis. In conclusion, in the sixth chapter, we study the Zeta Function as a generating function and we connect it to the arithmetic functions.