Μέθοδος των πεπερασμένων διαφορών στο πεδίο της συχνότητας για την εύρεση ρυθμών σε διατάξεις διηλεκτρικών κυματοδηγών

Abstract

Στην παρούσα διπλωματική εργασία μελετήθηκε η αριθμητική μέθοδος των πεπερασμένων διαφορών στο πεδίο της συχνότητας (Finite Difference Frequency Domain Method), με σκοπό την επίλυση της βαθμωτής εξίσωσης Helmholtz και την εύρεση των διαδιδόμενων ρυθμών σε ορθογώνιους οπτικούς διηλεκτρικούς κυματοδηγούς. Αρχικά, έγινε αναφορά στις εφαρμογές των οπτικών κυματοδηγών στην ολοκληρωμένη οπτική. Μελετήθηκε η εφαρμογή των κυματοδηγών ως στοιχεία σε παθητικές και σε ενεργές λειτουργικές διατάξεις, καθώς και η χρήση τους σε κυκλώματα ολοκληρωμένης οπτικής. Στη συνέχεια, εστιάσαμε στην ανάλυση της μεθόδου των πεπερασμένων διαφορών στο πεδίο της συχνότητας. Συγκεκριμένα, περιγράφηκε το θεωρητικό υπόβαθρο μέσα από το οποίο προέρχεται η μέθοδος καθώς και η διαδικασία μοντελοποίησης αυτής. Έπειτα, η μέθοδος εφαρμόστηκε στη βαθμωτή εξίσωση Helmholtz, στις δύο διαστάσεις, με σκοπό την εύρεση της σταθεράς διάδοσης των κυματοδηγούμενων ρυθμών και της εγκάρσιας -ως προς τη διεύθυνση διάδοσης- μορφής του πεδίου. Η μέθοδος εφαρμόστηκε σε κυματοδηγούς τύπου Rib, Raised Strip, Embedded Strip, Ridge, General Channel και Buried. Περαιτέρω, αξιολογήθηκε η σύγκλιση, η ακρίβεια, η ευστάθεια και η πολυπλοκότητα του αλγόριθμου επίλυσης, ενώ παράλληλα έγινε σύγκριση των αποτελεσμάτων με διαφορετικές μεθόδους για πληρότητα.

The aim of this diploma thesis is to study the numerical method of Finite Difference Frequency Domain, in order to solve the scalar Helmholtz equation and to determine guided modes in rectangular dielectric optical waveguides. Initially, reference was made to certain applications of optical waveguides in integrated optics. We studied the application of waveguides, as parts of passive and active functional devices as well as their use in integrated optical circuits. Then, we focused on the analysis of the method of finite differences in the frequency domain. Specifically, the theoretical background from which the method originates, as well as the modeling procedure was described. Moreover, the method was applied to the scalar Helmholtz equation, in two dimensions, in order to find the effective index of guided modes and the transverse - relative to the direction of propagation - field pattern. This method was applied to waveguides of different types such as Rib, Raised Strip, Embedded Strip, Ridge, General Channel and Buried. Furthermore, the convergence, the accuracy, the stability and the complexity of the solution algorithm were evaluated, while the results were compared with different methods for completeness.