Εξομάλυνση Συναρτησιακών Βελτιστοποίησης σε Μη-Δομημένα Επιφανειακά Πλέγματα

Abstract

Σε συνήθη προβλήματα της υπολογιστικής μηχανικής, όπως είναι η αεροδυναμική βελτιστοποίηση γεωμετρικών μορφών με χρήση αιτιοκρατικών μεθόδων, η τελική λύση προκύπτει ύστερα από αρκετούς υπολογιστικούς κύκλους, κατά τους οποίους, η κλίση (gradient) του υπόψη συναρτησιακού είναι το κύριο μέγεθος που κατευθύνει τη διαδικασία βελτιστοποίησης και καθορίζει το τελικό υπολογιστικό κόστος. Στην περίπτωση όπου η εξεταζόμενη γεωμετρική μορφή, διακριτοποιείται χωρίς παραμετροποίηση, η χρησιμοποίηση της συζυγούς μεθόδου για τον υπολογισμό της κλίσης του υπόψη συναρτησιακού, οδηγεί αναπόφευκτα σε μη-λείες παραγώγους. Στη συνέχεια, αν αυτές χρησιμοποιηθούν σε μια μέθοδο διανυσματικής κλίσης όπως αυτή της απότομης καθόδου, θα οδηγήσουν σε μη-λείες τελικές γεωμετρίες και μειωμένες αεροδυναμικές επιδόσεις. Στόχος της διπλωματικής εργασίας είναι η προσθήκη ενός πολύ χρήσιμου εργαλείου στην παραπάνω διαδικασία. Το εργαλείο αυτό περιλαμβάνει την εξομάλυνση της κλίσης του συναρτησιακού ως προς τις συντεταγμένες των κομβικών σημείων, ενός μη-δομημένου επιφανειακού πλέγματος, που διακριτοποιεί τη σχεδιαζόμενη επιφάνεια. Αυτό επιτυγχάνεται με την επίλυση της εξίσωσης εξομάλυνσης, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των πεπερασμένων όγκων, στην επιφάνεια της εκάστοτε γεωμετρίας και την εξομάλυνση του πεδίου των παραγώγων ευαισθησίας πάνω σε αυτή. Η χρησιμοποίηση της διαδικασίας εξομάλυνσης, σε ένα υπάρχον πρόβλημα βελτιστοποίησης, αναμένεται να οδηγήσει και σε σημαντική μείωση του υπολογιστικού κόστους και η μελέτη αυτής της επίδρασης γίνεται στο πλαίσιο της διπλωματικής, για ένα δεδομένο πρόβλημα αντίστροφού σχεδιασμού πτερυγίου αξονικής στροβιλομηχανής. Λέξεις κλειδιά: Βελτιστοποίηση Αεροδυναμικών Μορφών, Συζυγής Μέθοδος, Μέθοδος Απότομης Καθόδου, Μέθοδος Πεπερασμένων Όγκων, Εξομάλυνση Πεδίου, Επιφανειακά Μη-Δομημένα Πλέγματα.

In the solution of aerodynamic shape optimization problems using deterministic (gradient-based) methods, the optimal solution results after a number of optimization cycles during which the gradient of the objective function must be computed and used. The use of the adjoint method, either in discrete or continuous variant, is the recommended way to compute this gradient at CPU cost equivalent to that for solving the flow equations.

In the case that the shape to be designed (blade, wing, car shape, etc) is represented without using a parameterization scheme (such as Bezier polynomial, NYRBS, b-Splines, etc), the use of adjoint method for the computation of the gradient of the used modular leads inevitably to non-smooth gradient distributions. In specific, local under- or over-shootings in the gradient value (the gradient of the objective function with respect to the normal displacement of the CFD mesh used to describe the surface) usually occur close to areas with flow singularities, such as the leading and training edges or wings or blades, etc. If such a non-smooth gradient distribution is used in a gradient-based method, such as steepest descent, this will definitely lead to non-smooth final/optimal shapes with reduced aerodynamic performance.

This master thesis deals with the programming and use of a smoothing procedure for the smoothing of the computed gradient, on unstructured surface CFD grids. This requires the numerical solution of an extra smoothing equation, based on the finite volume method.

The use of smoothing procedure, in optimization problems, is also expected to lead to a significant reduce in the computational cost. The present thesis deals with the inverse design of an axial turbomachine blade.

Key words: Aerodynamic Shape Optimization, Adjoint Method, Steepest Descent Method, Finite Volume Method, Smoothing, Unstructured Surface Grid