Φάσματα Απόκρισης Συνεχών Συστημάτων για Πλήγματα Διαφόρων Μορφών

Abstract

Στην παρούσα διπλωματική εργασία υπολογίζεται η απόκριση και κατασκευάζονται φάσματα απόκρισης για ταλαντούμενα συνεχή μονοδιάστατα συστήματα με συνεχείς και σταθερές κατανομές μάζας και ακαμψίας που περιγράφονται από μερικές διαφορικές εξισώσεις 2ης (χορδές, αξονικές και στρεπτικές ταλαντώσεις ράβδων) και 4ης τάξης (εγκάρσιες ταλαντώσεις δοκών). Η κατανομή των ιδιοτήτων μάζας και ακαμψίας λαμβάνεται σταθερή ούτως ώστε για τον υπολογισμό της απόκρισης των συστημάτων να χρησιμοποιηθεί η ακριβής αναλυτική μέθοδος των κανονικών μορφών. Αρχικά, αναλύεται η ελεύθερη ταλάντωση του συστήματος, ούτως ώστε να υπολογιστούν οι ιδιολύσεις του (ιδιοσυχνότητες και αντίστοιχες κανονικοποιημένες ιδιομορφές). Στη συνέχεια, επιλύεται η μερική διαφορική εξίσωση κίνησης του συστήματος που περιέχει τον όρο της εξωτερικής φόρτισης (πλήγμα) με τη μέθοδο των κανονικών μορφών. Κατά την επίλυση, διατυπώνονται οι αρμονικές διαφορικές εξισώσεις από τις οποίες υπολογίζονται οι κανονικές συντεταγμένες. Η μαθηματική έκφραση των γενικευμένων φορτίων, δηλαδή των όρων των αρμονικών διαφορικών εξισώσεων που αναφέρονται στις εξωτερικές δυνάμεις, περιλαμβάνει τη συνάρτηση του πλήγματος. Η ολοκλήρωση των αρμονικών διαφορικών εξισώσεων γίνεται με χρήση του ολοκληρώματος Duhamel, το οποίο υπολογίζεται με μεθόδους αριθμητικής ολοκλήρωσης. Για την έκφραση της απόκρισης του συνεχούς συστήματος, θεωρήθηκε επαρκές να χρησιμοποιηθεί το άθροισμα των 10 πρώτων όρων, δηλαδή οι 10 πρώτες ιδιολύσεις. Στη συνέχεια γίνεται αδιαστατοποίηση των διαφόρων μεγεθών και εξισώσεων και το πρόβλημα λύνεται στην αδιάστατη μορφή του. Τα συστήματα που μελετήθηκαν εδώ είναι: -χορδή με δύο σταθερά στερεωμένα άκρα, -χορδή με ένα σταθερά στερεωμένο και ένα ελεύθερο άκρο, -χορδή με ένα σταθερά στερεωμένο και ένα ελαστικά στερεωμένο άκρο, -χορδή με ένα σταθερά στερεωμένο και με συγκεντρωμένη μάζα στο άλλο άκρο, -χορδή με ένα ελαστικά στερεωμένο και ένα ελεύθερο άκρο, -αμφιέρειστη δοκός, -πρόβολος, -μονόπακτη δοκός. Οι βασικές παράμετροι για τις οποίες έγινε μελέτη των παραπάνω συστημάτων είναι: τα χαρακτηριστικά του πλήγματος (διάρκεια, θέση εφαρμογής του πλήγματος κατά μήκος του συστήματος, μορφή πλήγματος, μέγιστη ένταση πλήγματος) και οι ιδιότητες του συστήματος (κατανεμημένη μάζα του συστήματος, κατανεμημένη ακαμψία του συστήματος και οι τιμές της σταθεράς του συγκεντρωμένου ελατηρίου και συγκεντρωμένης μάζας, όπου αυτά υπάρχουν). Για την κατασκευή των βίντεο της απόκρισης υπολογίστηκε η μετατόπιση από τη θέση ισορροπίας κάθε σημείου του συστήματος κατά τη διάρκεια του πλήγματος και για ένα χρονικό διάστημα μετά το πέρας του, κατά την ελεύθερη ταλάντωση του συστήματος. Για την κατασκευή των τρισδιάστατων επιφανειών των φασμάτων απόκρισης υπολογίστηκε η μέγιστη θετική και η ελάχιστη αρνητική μετατόπιση σε κάθε θέση του συστήματος συναρτήσει της διάρκειας του πλήγματος.