Αλγοριθμική ανάλυση πεπερασμένης αργής πολλαπλότητας: Ο ελκυστής Rossler

Abstract

Η ανάπτυξη αποσβετικών χρονοκλιμάκων, οι οποίες είναι πολύ πιο γρήγορες απο τις υπό- λοιπες, κάνουν την λύση ενός συστήματος συνήθων διαφορικών εξισώσεων να συγκλίνει προς μία αργή αναλοίωτη πολλαπλότητα και μετά να εξελίσεται πάνω σε αυτή. Η "αργή" εξέλιξη επί της πολλαπλότητας μπορεί να προσεγγιστεί απο ένα απλοποιημένο σύστημα, το οποίο εί- ναι απαλλαγμένο απο τις γρήγορες χρονοκλίμακες. Η δυναμική αυτού του συστήματος συ- γκρίνεται στην παρούσα εργασία με την δυναμική του αρχικού συστήματος, όταν η λύση εξελίσεται πάνω στην "αργή" αυτή πολλαπλότητα. Η σύγκριση αυτή γίνεται στη βάση του συστήματος R ossler, το οποίο παρουσιάζει έναν χαοτικό ελκυστή που χαρακτηρίζεται απο "αποσβετικές" και "εκρηκτικές" φάσεις. Μελετούμε την "αποσβετική" φάση, κατα την οποία η λύση εξελίσσεται πάνω σε μία αναλοίωτη αργή πολλαπλότητα και το κατά πόσο μπορεί να προβλεφθεί η "εκρηκτική" φάση που ακολουθεί από τα δυναμικά χαρακτηριστικά του συστή- ματος R ossler. Δείχνουμε ότι μία πρόβλεψη της "εκρηκτικής" αυτής φάσης είναι δυνατή μόνο μέσω της δυναμικής του απλοποιημένου συστήματος. Η ικανότητα πρόβλεψης της επερχό- μενης "εκρηκτικής" φάσης είναι πολύ σημαντική, όταν επιθυμούμε να ορίσουμε τις φυσικές διεργασίες που διέπουν την γενικότερη συμπεριφορά του συστήματος.

The development of dissipative time scales, which are much faster than the rest, force the solution of 1st order ODEs to land and then evolve on a slow invariant manifold. The slow evolution on this manifold can be approximated by a simplified system, which is free of fast scales. The dynamics of this system are compared here with the dynamics of the original system, when the solution evolves on the slow manifold. This study is based on the R ossler model, which exhibits a chaotic attractor that is characterized by dissipative and explosive phases. We examine the dissipative phase, during which the solution evolves on a slow invariant manifold and the dynamics of the R ossler model cannot predict the explosive phase that follows. It is shown that such a prediction is only possible through the dynamics of the simplified system. Predicting the approach of the explosive phase is very important when it is desired to identify the underlying physical mechanisms that control the process.