Analysis of rough surfaces with network theory

Abstract

Το κίνητρο για τη μελέτη της τραχύτητας των επιφανειών έχει δυο πλευρές: η τεχνολογική πλευρά είναι ότι η τραχύτητα επηρεάζει αρκετές από τις ιδιότητες των επιφανειών (συνάφεια, κατάλυση, τριβή, αγωγιμότητα) και είναι πολύ σημαντική στη νανοτεχνολογία αφού η αναλογία της επιφάνειας προς τον όγκο αυξάνεται στη νανοκλίμακα. Επιπλέον, η θεωρητική πλευρά είναι ότι μια τραχεία επιφάνεια είναι ένα πολύπλοκο σύστημα (μια ιεραρχική συνεργία τάξης και τυχαιότητας) του οποίου η εξέλιξη είναι μια διαδικασία σε μη ισορροπία. Ωστόσο, ο χαρακτηρισμός αυτής της συνεργίας στις τραχείες επιφάνειες έχει ανοιχτά ζητήματα. Σε αυτό το σημείο προκύπτει η ανάγκη για μια νέα προσέγγιση μελέτης των τραχειών επιφανειών. Η πολύπλοκη θεωρία δικτύων, η οποία μέσα από τις σχέσεις μεταξύ των στοιχείων μας παρέχει μια καινούργια προοπτική για την κατανόηση ενός πολύπλοκου συστήματος με καθολικό τρόπο , μπορεί να αποτελέσει αυτή τη νέα προσέγγιση. Ο σκοπός αυτής της εργασίας είναι να μελετήσει τη δομή των τραχειών επιφανειών με τη βοήθεια των πολύπλοκων δικτύων. Αρχικά, προτείνουμε μια μέθοδο για την κατασκευή ενός πολύπλοκου δικτύου από μια τραχεία επιφάνεια. Παράγονται και μελετούνται από τυχαίες μέχρι πλήρως περιοδικές καθώς επίσης μορφοκλασματικές αυτο–αφινικές και mounded τραχείες επιφάνειες. Στη συνέχεια εξετάζονται τα στατιστικά μέτρα των δικτύων, όπως ο μέσος βαθμός κόμβου, η κατανομή των βαθμών κόμβου, ο συντελεστής ομαδοποίησης και το χαρακτηριστικό μήκος μονοπατιού. Σε ορισμένες περιπτώσεις, γίνεται σύγκριση μεταξύ των δικτύων που κατασκευάζουμε και άλλων μοντέλων δικτύων, όπως το δίκτυο δακτυλίου και το τυχαίο δίκτυο. Τα κύρια ευρήματα της εργασίας αυτής είναι: 1. Σε περιπτώσεις όπως αυτή του λευκού θορύβου, του τετραγωνικού και τριγωνικού παλμού, ο μέσος βαθμός κόμβου <k> μπορεί να υπολογιστεί αναλυτικά. 2. Η κορυφή της κατανομής των βαθμών κόμβου P(k) είναι ευαίσθητη στην περιοδικότητα της επιφάνειας: σε πλήρως περιοδικές τραχείες επιφάνειες έχουμε είτε μια κορυφή τύπου Ι – που προέρχεται από σημεία που βρίσκονται στην ίδια ζώνη ύψους – , είτε μια κορυφή τύπου ΙΙ – που προέρχεται από σημεία που βρίσκονται σε διαφορετικά ύψη – , είτε και τους δυο τύπους κορυφών. Στον λευκό θόρυβο έχουμε μια Poisson κατανομή βαθμών κόμβου και στις φράκταλ αυτό–αφινικές επιφάνειες, η P(k) είναι ευαίσθητη σε οποιαδήποτε μεταβολή της παραμέτρου rms. Τέλος, στις mounded τραχείες επιφάνειες, όταν έχουμε αποκλίσεις από την περιοδικότητα, τόσο η τύπου Ι όσο και η τύπου ΙΙ κορυφές επηρεάζονται. 3. Ο συντελεστής ομαδοποίησης C για δίκτυα που παράγονται από λευκό θόρυβο ή από τον τριγωνικό παλμό είναι της τάξης των 3/4. Δίνεται μια αναδρομική απόδειξη του ό,τι C~0.75. Γενικά, τα δίκτυα που κατασκευάζονται έχουν υψηλό συντελεστή ομαδοποίησης. 4. Το χαρακτηριστικό μήκος μονοπατιού L είναι επίσης μεγάλο και σε ορισμένες περιπτώσεις αποκλίνει.

The motivation for studying the roughness of surfaces has two aspects: the technological aspect is that surface roughness affects several surface properties (adhesion, catalysis, friction, conductivity) and is of increased importance in nanotechnology since the surface to volume ratio increases on nanoscale. Moreover, the theoretical aspect is that a rough surface is a complex system (an hierarchical synergy of order and randomness) whose evolution is a non equilibrium process. However, the characterization of this synergy in rough surfaces has open issues. At this point the need for a new approach for studying rough surfaces emerges. Complex network theory, which provides us with a new perspective for understanding a complex system from the relations between the elements in a global way, can constitute this new approach. The aim of this thesis is to investigate the structure of rough surfaces through complex network theory. First we propose a method for constructing a complex network from a rough surface. From random to fully periodic as well as fractal self–affine and mounded rough surfaces are generated and studied. Thereafter, the network's statistical measures, such as the mean degree, the degree distribution, the clustering coefficient and the average shortest path length are examined. In some cases, a comparison of the constructed networks with other existing network models, such as the ring lattice and the random graph, is investigated. The main findings of the thesis are: 1. The mean degree <k> in the cases of white noise, square and triangular pulse can be analytically estimated. 2. The peak of the degree distribution P(k) is sensitive to the surface's periodicity. In fully periodic rough surfaces we can have either a type I peak – coming from points in the same height zone –, either a type II peak – coming from points in different height zones –, or both types of peaks. In a white noise we have a Poisson degree distribution and in fractal self–affine, P(k) is sensitive to any change of the rms parameter. Finally, in mounded rough surfaces, when we have deviations from full periodicity both type I and II peaks are affected. 3. The clustering coefficient C for networks produced by white noise or triangular pulse approximates the vale 3/4. A recursive proof that C ~ 0.75 is given. In general, our constructed networks are highly clustered. 4. The average shortest path length L is also long and in some cases diverges.