Γεωμετρική Οπτική και Εξίσωση Fokker-Planck σε ανομοιογενές πλάσμα

Abstract

Σε διατάξεις συγκράτησης πλάσματος έχει παρατηρηθεί πως, κοντά στην περιοχή των τοιχωμάτων, εμφανίζονται μικρές περιοχές με σημαντικά μεγαλύτερη πυκνότητα σωματιδίων από τη μέση πυκνότητα στο πλάσμα. Οι περιοχές αυτές μοιάζουν με φουσκάλες (blobs). Είναι, επομένως, ιδιαίτερα σημαντικό να αναλύσουμε θεωρητικά την επίδραση των blobs στη συμπεριφορά του πλάσματος.

Στην εργασία αυτή θα μελετήσουμε πώς επηρεάζουν τα blobs τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα με τα οποία ακτινοβολούμε το πλάσμα προκειμένου να ελέγξουμε τη συμπεριφορά του. Πιο συγκεκριμένα, υπολογίζουμε τη γωνία κατά την οποία μία ηλεκτρομαγνητική δέσμη εκτρέπεται από την πορεία της λόγω της παρουσίας blobs.

Αρχικά, εξηγούμε ένα μοντέλο που έχει αναπτυχθεί, και το οποίο μπορεί να περιγράψει τη διάδοση ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων σε χωρικά και χρονικά μεταβαλλόμενο πλάσμα. Το μοντέλο αυτό συνοψίζεται σε ένα χαμιλτονιανό σύστημα διαφορικών εξισώσεων.

Στη συνέχεια, παίρνοντας προσεγγίσεις πρώτης τάξης, καταλήγουμε σε μια εξίσωση για την εξέλιξη του κυματοδιανύσματος καθώς το κύμα διαδίδεται μέσα στο πλάσμα. Θεωρώντας ομοιόμορφη κατανομή των blobs, παίρνουμε χωρική μέση τιμή στην παραπάνω εξίσωση, και καταλήγουμε σε μια εξίσωση Fokker-Planck. Ο πίνακας διάχυσης της εξίσωσης αυτής υπολογίζεται αναλυτικά για διάφορες γεωμετρίες των blobs (σφαιρική, ελλειπτική, κυλινδρική).

Τέλος, βρίσκουμε τη συνάρτηση Green της εξίσωσής μας και υπολογίζουμε τη μέση γωνία απόκλισης του ηλεκτρομαγνητικού κύματος.

In magnetic confinement fusion devices, small areas of significantly higher particle density than the average plasma density have been observed to appear in the edge region; these areas look like and are referred to as blobs. It is, therefore, of vital importance to theoretically approach and analyze the impact of these blobs on plasmas.

In this thesis, the various effects of blobs on the electromagnetic waves with which the plasma is irradiated in order for its performance to be optimized, are studied. More specifically, the angle between the course of an electromagnetic ray and the distraction from it, due to the presence of blobs, is calculated.

At first, a fully developed model that successfully describes the electromagnetic wave propagation in spatially and temporally varying plasmas is explained. This particular model is summarized in a Hamiltonian system of differential equations.

Later on and through first-order approximations, an equation describing the evolution and variation of the wave-vector, during the wave propagation inside the plasma, is deducted. Assuming a uniform distribution of the blobs and using the spatial average of the aforementioned equation, a Fokker-Planck equation is reached. The diffusion tensor of this equation for various blob geometries is, then, analytically calculated, including the cases of spherical, elliptic and cylindrical blobs.

Finally, the Green’s function of our equation is calculated and a mean angle of distraction of the electromagnetic wave from its course is defined.