Δομή και ιδιότητες του χώρου L1[0,1]

Abstract

Στην εργασία αυτή παρουσιάζονται ορισμένα αποτελέσματα που αφορούν τη δομή και τις ιδιότητες του χώρου L1[0,1] των απολύτως ολοκληρώσιμων συναρτήσεων στο [0,1]. Αρχικά παρουσιάζονται κάποια βασικά εισαγωγικά στοιχεία για τον L1, όπως ο τοπολογικός δυικός του και η Scauder βάση του. Στη συνέχεια μελετάται το θεώρημα Dunford Pettis, το οποίο αποτελεί χαρακτηρισμό της ασθενούς συμπάγειας στον L1. Έπειτα παρουσιάζονται θεωρήματα που αφορούν υποχώρους του L1, με κεντρικό το θεώρημα του L.Dor, το οποίο δίνει ικανή συνθήκη ώστε ένας ισόμορφος υπόχωρος να είναι ταυτόχρονα και συμπληρωματικός. Στην τελευταία ενότητα τις εργασίας περιέχονται χαρακτηρισμοί της δομής του L1 μέσω δενδροειδών δομών, καθώς και η απόδειξη των Enflo και Starbird για το οτι ο L1 είναι primary χώρος.

The subject of this diploma dissertation is the structure and properties of the classical function space L1[0,1]. As an introduction, some elementary results regarding the L1-spaces are presented, such as the topological dual and the Schauder basis. In the second chapter we examine weak compactness in L1. Here, the well-known Dunford Pettis theorem gives the characterization of weak compactness in L1[0,1], which is relative to the notion of uniform integrability. The third chapter is about subspaces of L1. The major result of this chpater is Dor's theorem, which gives a sufficient condition so that an isomorphic subspace of L1 is also complemented. The fourth and most important chapter of this dissertation contains some important results regarding the structure of L1 space. Among these are a characterization of the L1 space modulo isomorphism and the proof that L1 is primary which is due to P.Enflo and T.Starbird.