Επί της Κατασκευής των Γενικών Λύσεων των μη Γραμμικών ΣΔΕ Abel, Riccati, Emden-Fowler και τύπου Emden-Fowler. Εφαρμογές στη μη Γραμμική Μηχανική και στη Μαθηματική Φυσική

Abstract

Η διδακτορική αυτή διατριβή περιέχει έξι κεφάλαια, την εισαγωγή, και τα συμπεράσματα. Στο πρώτο κεφάλαιο αναπτύσσονται όλοι οι γνωστοί παραδεκτοί συναρτησιακοί μετασχηματισμοί οι οποίοι μετατρέπουν τις κλάσεις των εξισώσεων Emden-Fowler και Abel δευτέρου είδους σε εξισώσεις Abel δευτέρου είδους κανονικής μορφής. Επίσης γίνεται μια αρκετά εκτενής αναφορά , στην οποία προσφάτως έχει αναπτυχθεί μεθοδολογία και τεχνική κατασκευής αναλυτικών λύσεων μιας εξίσωσης Abel δευτέρου είδους. Στο δεύτερο κεφάλαιο, με τη γενίκευση μιας τεχνικής (τεχνική ΑΖS) που πρόσφατα αναπτύχθηκε από τους Alexeeva, Zaitsev και Shvets, κατασκευάζονται τα γενικά ολοκληρώματα της εξίσωσης Abel δευτέρου είδους με τυχόν ελεύθερο μέλος, καθώς επίσης και της μη γραμμικής ΣΔΕ Emden-Fowler και γενικευμένης ΣΔΕ Emden-Folwer. Στο τρίτο κεφάλαιο περιγράφεται και αναπτύσσεται μια ευρεία κλάση ειδικών χαρακτηριστικών διαφορικών εξισώσεων δεύτερης και ανώτερης τάξης της μαθηματικής φυσικής και μη γραμμικής μηχανικής, που μέχρι σήμερα έχουν επιλυθεί μόνον μέσω αριθμητικών τεχνικών. Αποδεικνύεται ότι η μη αναλυτική επιλυσιμότητα των εν λόγω εξισώσεων οφείλεται στο γεγονός ότι αυτές μέσω παραδεκτών μετασχηματισμών μετατρέπονται σε εξισώσεις τύπου Abel δευτέρου είδους ή σε εξισώσεις τύπου Emden-Fowler κανονικής ή γενικευμένης μορφής. Στο τέταρτο κεφάλαιο με βάση ορισμένα αποτελέσματα της βιβλιογραφίας που αναφέρονται στην ισοδυναμία της εξίσωσης Abel δευτέρου είδους κανονικής μορφής και της εξίσωσης Riccati, αναπτύσσεται μεθοδολογία και τεχνική κατασκευής της ακριβούς λύσης μιας εξίσωσης Riccati με τυχαίο το ελεύθερο μέλος. Παρουσιάζεται εφαρμογή των κινηματικών εξισώσεων Euler κατά την περιστροφή στερεού σώματος περί σταθερό σημείο. Αποδεικνύεται ότι οι τρεις προαναφερθείσες εντόνως μη γραμμικές ΣΔΕ καταλήγουν σε μια εξίσωση Riccati, ως προς τη γωνία περιστροφής, συναρτήσει του χρόνου. Εύκολα η εξίσωση αυτή μετατρέπεται σε κανονικής μορφής εξίσωση Riccati, η οποία σύμφωνα με τα προαναφερθέντα επιδέχεται γενικής ακριβούς αναλυτικής λύσης. Στο πέμπτο κεφάλαιο κατασκευάζονται οι γενικές λύσεις μη γραμμικών ΣΔΕ τύπου Emden-Fowler της μορφής ( λεία συνάρτηση της μεταβλητής ). Οι γενικές αυτές ακριβείς λύσεις δίνονται υπό παραμετρική μορφή. Εφαρμογή γίνεται στις εξής τρεις περιπτώσεις: α) Στην εξίσωση «White Dwarf» [εξίσωση Λευκών Νάνων - εξίσωση Chandrasekhar (1939)] και αφορά στην έκκληση θερμότητας κατά την οριακή κατάσταση (περίπτωση ισορροπίας) που αναπτύσσει ένας αστέρας (Λευκός Νάνος), ο οποίος πρόκειται να μετατραπεί ή σε μέλανα νάνο, ή να παραμένει στην αρχική του κατάσταση, ή τέλος να μετατραπεί σε super nova. Δίνονται ακριβείς παραμετρικές λύσεις της εξίσωσης αυτής, στην εξίσωση του προβλήματος «elastica» και οι λύσεις υπό παραμετρική μορφή και στην μονοδιάστατη εξίσωση μη γραμμική εξίσωση Schrödinger (NLS) με κυβικούς όρους. Στο έκτο κεφάλαιο με βάση τα αναφερόμενα στα κεφάλαια 2 και 4 μέσω τελείως ανεξάρτητης προς τα προηγούμενα κεφάλαια μαθηματικής τεχνικής, κατασκευάζεται η γενική λύση της εξίσωσης Abel πρώτου είδους (γενικευμένης εξίσωσης Riccati που περιλαμβάνει και κυβικούς όρους). Εφαρμογές της εν λόγω μεθοδολογίας σε διάφορες εξισώσεις Abel πρώτου είδους παρουσιάζονται στο εν λόγω κεφάλαιο . Στα συμπεράσματα είναι πολλά. Συνοπτικά με τις νεές μαθηματικές τεχνικές αποδείχθηκε πως η λύση της μιας μη γραμμικής εξίσωσης μπορεί να μην είναι ενιαία σε ένα κύριο διάστημα τιμών της ανεξάρτητης μεταβλητής, αλλά να υποδιαιρείται σε κλάδους λύσεων που ισχύουν σε διαδοχικά υποδιαστήματα του κυρίου ως άνω διαστήματος.

This thesis contains introduction, six chapters and conclusions. Each chapter includes also the corresponding bibliography being used through the text. In the first chapter all the well known admissible functional transformations and substitutions that transfer the classes of the Emden-Folwer and Abel nonlinear ODEs of the second kind to Abel equations of the second kind of the normal form are developed. Moreover, an extensive reference to the results of Refs[6,7] about the construction of analytical solutions concerning the normal form of an Abel equation of the second kind are demonstrated. In the second chapter, combining the previous results and the construction formulated by Alexeeva, Zaitsev and Shvets (AZS), it is successfully developed a method that leads to the construction of the general solution in analytic form of the above mentioned Abel equation of the second kind. This means that the general solution in analytic form of an Abel equation of the second kind with arbitrary free member can be found as well as the construction of the general solution of the Emden-Fowler and generalized Emden-Fowler equation. The third chapter contains a variety of second order (ODEs) in the mathematical physics and nonlinear mechanics that can reduce to Abel equations of the second kind. So it is now possible their general solutions to be constructed. In the fourth chapter, in which the equivalence between an Abel equation of the second kind of the normal form and the Riccati equation is proved. A new mathematical technique leading to the construction of the general solution of the Riccati equation is developed. Application is furnished in the Euler kinematic equations. The general solutions in parametric form of a nonlinear second order Emden- Fowler type ODE [ ] is demonstrated in the fifth chapter. Applications in the white dwarf (Chandrasekhar equation, 1937) and the nonlinear “elastica” problem for bars under uniformly distributed loads are given. In the sixth chapter through a different methodology and technique, the general solution of an Abel equation of the first kind in analytic form is given. Summing up, the general solution of an Abel equation of the first and second kind of the normal, Riccati, EmdenFowler and type of Emden-Fowler of the form is not unique in a main interval of the independent variable , but it can be divided into several kinds of solution (valid inside convenient, consecutive subintervals).