Μελέτη της αλληλεπίδρασης σωματιδίων και ρεόντων βιορευστών

Abstract

Η αριθμητική μοντελοποίηση της μεταφοράς σωματιδίων που βρίσκονται διασκορπισμένα σε ρέοντα βιορευστά είναι ο βασικός σκοπός της παρούσας διατριβής. Συγκεκριμένα, διερευνώνται οι μηχανισμοί που διέπουν τις αλληλεπιδράσεις σωματιδίων – ρευστών χρησιμοποιώντας τεχνικές της δυναμικής ρευστών. Η συνεχής φάση (ρευστό) επιλύεται με χρήση υπάρχοντος κώδικα, ο οποίος βασίζεται σε μεθόδους της υπολογιστικής ρευστοδυναμικής (computational fluid dynamics – CFD). Ιδιαίτερη σημασία κατά την ανάπτυξη του μοντέλου δόθηκε στην επίλυση της μεταφοράς της σωματιδιακής φάσης με προσέγγιση Euler. Η χρήση της περιγραφής κατά Euler έχει ως αποτέλεσμα την άμεση αντιμετώπιση της διάχυσης των σωματιδίων και του υπολογισμού τη συγκέντρωσης τους. Ωστόσο, τα αδρανειακά φαινόμενα δεν ενσωματώνονται εύκολα στην κατά Euler μορφή της Εξίσωσης Μεταφοράς των Σωματιδίων (particle transport equation – PTE). Για να συμπεριληφθούν, επομένως, τα αδρανειακά φαινόμενα στην μεθοδολογία Euler, θα πρέπει να χρησιμοποιηθεί μια προσεγγιστική έκφραση για την ταχύτητα της σωματιδιακής φάσης. Στην παρούσα διατριβή, χρησιμοποιείται προσέγγιση Euler για την περιγραφή της ροής ρευστού – σωματιδίων στο όριο του χαμηλού φορτίου μάζας και μικρού κλάσματος όγκου. Θεωρείται μονόπλευρη σύζευξη της σωματιδιακής φάσης, το οποίο σημαίνει ότι η ροή του ρευστού επηρεάζει αυτή των σωματιδίων, αλλά το αντίθετο δεν ισχύει. Η ταχύτητα της σωματιδιακής φάσης που περιέχεται στην PTE, εκφράζεται στο όριο του μικρού χρόνου χαλάρωσης των σωματιδίων. Τελικά, η ταχύτητα των σωματιδίων αποτελείται από έναν όρο διάχυσης, ο οποίος εξαρτάται από την κλίση της συγκέντρωσης των σωματιδίων, και έναν όρο συναγωγής, ανεξάρτητο της συγκέντρωσης. Η σωματιδιακή ταχύτητα συναγωγής είναι ουσιαστικά η ταχύτητα του φέροντος αερίου διορθωμένη από την ταχύτητα ολίσθησης εξαιτίας της αδράνειας των σωματιδίων και της ολικής εξωτερικής δύναμης που ασκείται στα σωματίδια. Κατά αυτόν τον τρόπο, τα αδρανειακά φαινόμενα της σωματιδιακής φάσης και η επίδραση εξωτερικών πεδίων δυνάμεων ενσωματώνονται επιτυχώς στην κατά Euler περιγραφή της PTE. Η προαναφερθείσα αντιμετώπιση της PTE και η εφαρμογή της για την περιγραφή της μεταφοράς και εναπόθεσης βαρέων, αδρανειακών σωματιδίων που αιωρούνται διασκορπισμένα σε ρέοντα ρευστά είναι η κύρια καινοτομία της παρούσας διατριβής. Η πλήρως κατά Euler περιγραφή προσφέρει ξεκάθαρα πλεονεκτήματα: α) δεν απαιτείται ο δαπανηρός, σε χρόνο και προσπάθεια, υπολογισμός της τροχιάς πληθώρας σωματιδίων για τη λήψη στατιστικά ακριβούς λύσης, β) λαμβάνει υπόψη ταυτόχρονα τη μεταφορά των σωματιδίων εξαιτίας της διάχυσης και της αδράνειας, και για αυτό είναι κατάλληλη για μεγάλο εύρος μεγέθους σωματιδίων, γ) είναι σχετικά απλή, αφού διαχωρίζει τις εξισώσεις μάζας και ορμής της σωματιδιακής φάσης και η ταχύτητα των σωματιδίων δίνεται σε όρους της ταχύτητας του ρευστού και των χωρικών παραγώγων αυτής, και δ) η συγκέντρωση των σωματιδίων υπολογίζεται άμεσα, ως μέρος της επίλυσης της εξίσωσης μεταφοράς των σωματιδίων. Η αριθμητική αντιμετώπιση της σωματιδιακής φάσης βασίζεται σε τεχνικές CFD. Συγκεκριμένα, η εξίσωση μεταφοράς των σωματιδίων επιλύεται στις τρεις διαστάσεις χρησιμοποιώντας μια μεθοδολογία πεπερασμένων όγκων με ομόθετη διάταξη μεταβλητών, η οποία λαμβάνει υπόψη τη μη-ορθογωνιότητα των πλεγμάτων και είναι κατάλληλη για πολλαπλών χωρίων (multi-grid) πλέγματα. Στον κώδικα ο όρος της συναγωγής διακριτοποιείται με χρήση μιας προσέγγισης αναβαλλόμενης διόρθωσης (deferred correction) 2ης τάξης, ενώ ένα σχήμα κεντρικών διαφορών 2ης τάξης χρησιμοποιείται για τον όρο διάχυσης. Επιπλέον, στην παρούσα εργασία προτείνεται και πιστοποιείται η χρήση μιας νέας αριθμητικής προσέγγισης για τη συνοριακή συνθήκη στο τοίχωμα, όπου η συνήθης συνοριακή συνθήκη του πλήρως απορροφητικού τοιχώματος συνδυάζεται με τις ισχυρές ροές συναγωγής προς το τοίχωμα. Κατά την πιστοποίηση της προτεινόμενης μεθοδολογίας τεκμηριώνουμε ότι η διάχυση και η βαρυτική καθίζηση προβλέπονται με άριστη ακρίβεια. Σημαντικότερος είναι πάντως ο έλεγχος της προσεγγιστικής έκφρασης για την ταχύτητα των σωματιδίων στις περιπτώσεις μεγάλων χρόνων χαλάρωσης (ή ισοδύναμα μεγάλων αριθμών Stokes), όπου τα αδρανειακά φαινόμενα είναι σημαντικά και η επίδραση της βαρύτητας δε μπορεί εκ των προτέρων να θεωρηθεί αμελητέα. Τα αποτελέσματα του αναπτυχθέντος μοντέλου συγκρίνονται, λοιπόν, με αναλυτικές, πειραματικές και αριθμητικές εργασίες της βιβλιογραφίας. Η σύγκριση δείχνει ότι η προτεινόμενη μεθοδολογία μπορεί με επιτυχία να προβλέψει την εναπόθεση των αδρανειακών σωματιδίων, και ότι οι περιοχές εναπόθεσης των σωματιδίων που υποδεικνύονται από το μοντέλο συμφωνούν με τις πειραματικές παρατηρήσεις. Το μοντέλο που αναπτύχθηκε χρησιμοποιείται για τη μελέτη της τριδιάστατης μεταφοράς και εναπόθεσης σωματιδίων που βρίσκονται διεσπαρμένα σε κινούμενα ρευστά μέσα σε απλές γεωμετρίες, οι οποίες, ωστόσο, μπορούν να θεωρηθούν ως δομικά στοιχεία τόσο του αναπνευστικού, όσο και το καρδιαγγειακού συστήματος. Συγκεκριμένα, το αναπτυχθέν μοντέλο χρησιμοποιείται για τη μελέτη των αδρανειακών φαινομένων σε αερολύματα εντός μιας γωνιάς κυκλικής διατομής, όπως επίσης και εντός μιας φυσιολογικά ρεαλιστικής διακλάδωσης (physiologically realistic bifurcation - PRB). Πρόσθετα, το μοντέλο χρησιμοποιείται για τη διερεύνηση της μεταφοράς και επικάθισης μαγνητικών σωματιδίων, διεσπαρμένων σε υγρό μέσο, υπό την επίδραση εξωτερικού μαγνητικού πεδίου. Οι προαναφερθείσες μελέτες δείχνουν ότι με κατάλληλη χρήση και, κατόπιν, ανάλυση των αποτελεσμάτων, το προτεινόμενο μοντέλο μπορεί να συνεισφέρει στην ερμηνεία της συμπεριφοράς των σωματιδίων στο αναπνευστικό ή/και καρδιαγγειακό σύστημα, προσφέροντας καλύτερη κατανόηση των εμπλεκόμενων φυσικών φαινομένων και όντας ένα χρήσιμο εργαλείο για το σχεδιασμό και τη βελτιστοποίηση βιοϊατρικών εφαρμογών.

The numerical modelling of the transport of particles suspended in flowing biofluids, whether they are beneficial (e.g. pharmaceuticals) or harmful (e.g. pollution) for humans, is the main objective of this work. In particular, the mechanisms underlying the particles- fluid interactions are investigated employing techniques of fluid dynamics. The solution of the continuous phase is treated by Computational Fluid Dynamics (CFD) methods based on an existing code. Special emphasis during development of the model is given in solving the transport of the particulate phase within an Eulerian description (spatial description). This description results in direct handling of particles diffusion, as well as the straightforward calculation of the particle mass concentration. However, inertial effects can not be easily included in the Eulerian form of the Particle Transport Equation. For this reason, an approximate expression of the particles velocity should be used for the integration of their inertial effects in the Eulerian approach. In the present thesis, the fluid-particle flow in the limit of low mass load and volume fraction is described through an Eulerian formalism. One-way coupling of the dispersed phase is considered whereby the disperse-phase motion is affected by the continuous phase, but not vice versa. In the Eulerian description of the dispersed phase we approximate the particle velocity in the mass conservation equation of the dispersed (particulate) phase by an expression obtained in the limit of low particle relaxation time. The particle velocity is decomposed into a diffusive term, which depends on the particle concentration gradient, and a convective term, independent of particle concentration.The convective particle velocity is essentially the velocity of the carrier fluid corrected by the inertial drift (or slip) and the gravitational settling or other externally-induced velocities, thereby introducing particle inertial and body force effects in the Eulerian form of the particle transport equation (PTE). The aforementioned treatment of PTE and its use to describe the transport and deposition of heavy, inert particles suspended in flowing fluid is the main innovative aspect of this thesis. The proposed fully Eulerian methodology offers clear advantages; a) it does not require time and effort consuming particle tracking histories in order to obtain accurate statistics; b) it takes into account particle transport due to diffusion and inertia simultaneously, thus it is valid for a wide range of particle sizes; c) it is fairly simple, as it decouples the mass and momentum equations of the particulate phase and the particle velocity is given only in terms of the fluid velocity and its spatial derivative; d) particle concentration is directly calculated as natural part of the solution of the particle transport equation. The numerical treatment of the particulate phase transport is based on CFD techniques. In particular, the particles transport equation is solved in three dimensions using a finite volume method with a collocated arrangement of variables that takes into account grid non-orthogonality and is suitable for multi-block grids. In the code, the convective term is discretized using a second-order deferred correction approach, while a second-order central difference scheme is preferred for the diffusive term. Moreover, we succeeded in proposing and validating a novel numerical approach to the wall boundary condition, where the usual totally absorbing wall condition is combined with the strong convective fluxes towards the wall. The validation of the proposed methodology shows that particle diffusion and gravitational settling are predicted accurately. More importantly, the validity of the particle velocity approximation for higher particle relaxation times (or equivalently higher Stokes numbers) is investigated, where inertial effects are important and gravitational settling may not be a priori neglected. Thus, the results of the fully Eulerian methodology are validated against analytical, numerical, and experimental data available in literature. From the comparison it is shown that the proposed methodology can accurately predict inertia-induced particle deposition efficiencies and that the particles deposition sites indicated in the present study are in good agreement with experimental observations. The developed model is used to study the three-dimensional transport and deposition of particles suspended in flowing fluids in simple geometries, which can be considered, though, as building-blocks of both the respiratory and cardiovascular system. In particular, the fully Eulerian model is used to study particle inertial effects in aerosol flows inside a 90o bend of circular cross-section, as well as, in a physiologically realistic single bifurcation. In addition, the model is employed in order to investigate transport and deposition of magnetic particles suspended in a flowing liquid medium under the influence of an external magnetic field. As shown by the practical applications that we have undertaken, with appropriate use and then detailed analysis of numerical predictions, the model can contribute to the interpretation of observed behavior of particles in the respiratory or cardiovascular system, offering thus better physical insight and serving as a tool for the design and optimization of biomedical applications.