Ασυμπτωτική μελέτη δύσκαμπτων δυναμικών συστημάτων: Κατασκευή και Ανάλυση Μοντέλων Μειωμένης Τάξης Βιολογικών Διεργασιών και Μηχανισμών Καύσης

Abstract

Μελετήθηκε η δυναμική δύσκαμπτων συστημάτων, που διέπουν προβλήματα στη περιοχή της βιολογίας και των αντιδρώντων αερίων, με χρήση του αλγορίθμου Computational Singular Perturbation method (CSP). Το θεωρητικό υπόβαθρο αυτού του αλγόριθμου εμπίπτει στο πε- δίο της Γεωμετρικής Θεωρίας Ιδιαζουσών Διαταραχών (Geometric Singular Perturbation Theory, GSPT). Η GSPT αφορά δυναμικά συστήματα πολλαπλών κλιμάκων, των οποίων η δυναμική περιλαμβάνει κανονικές υπερβολικές αναλλοίωτες πολλαπλότητες που έλκουν εκθετικά τις γει- τονικές τροχιές. Η μέθοδος CSP μας επιτρέπει να μελετήσουμε ξεχωριστά την γρήγορη και την αργή δυναμική του συστήματος, να εντοπίσουμε τις συνιστώσες του μαθηματικού μο- ντέλου που είναι υπεύθυνες για την εκδήλωση κάθε μιας και να κατανοήσουμε την μεταξύ τους αλληλεπίδραση. Στα πλαίσια της παρούσης διατριβής αποδείχθηκε ότι σε δύσκαμπτα συστήματα των οποίων η αργή δυναμική είναι ταλαντωτική, η CSP επιτρέπει τον εντοπι- σμό των συνιστωσών που είναι υπεύθυνες για την παραγωγή των ταλαντώσεων καθώς και την μελέτη της στιβαρότητας του μοντέλου. Επίσης, επιτρέπει την αλγοριθμική κατασκευή απλοποιημένων μοντέλων μεγάλης ακρίβειας καθώς και κριτήρια και κατευθύνσεις για την κατασκευή μοντέλων με χρήση των κλασσικών παραδοχών Quasi Steady State Approximation (QSSA) και Partial Equilibirum Approximation (PEA). Δεδομένου ότι ο αλγοριθμικός χαρακτήρας της CSP δεν θέτει περιορισμούς ως προς το είδος, το μέγεθος ή την πολυπλοκότητα του προβλήματος, μελετήθηκαν το μεταβολικό μονοπάτι της γλυκόλυσης και η αυτανάφλεξη μίγματος υδρογόνου-αέρα. Μεταξύ άλλων, η αλγοριθμική ανάλυση με την CSP επαλήθευσε αρκετούς γνωστούς ισχυρι- σμούς σχετικά με τις γλυκολυτικές ταλαντώσεις χωρίς την εκ των προτέρων ανάγκη βιοχημικής γνώσης ή την εισαγωγή κάποια μορφής υποθέσεων από τον ερευνητή. Δείχθηκε ότι οι γλυ- κολυτικές ταλαντώσεις δεν μπορούν να κατανοηθούν ως μια απλή αλυσίδα αίτιου-αιτιατού που διατρέχει τους μεταβολίτες της γλυκόλυσης. Επίσης, αναγνωρίστηκαν οι αντιδράσεις που (i) είναι υπεύθυνες για την ανάπτυξη των γρήγορων χρονοκλίμάκων, (ii) συμμετέχουν στην διαμόρφωση της αργής πολλαπλότητας και (iii) είναι υπεύθυνες για την ανάπτυξη της χα- ρακτηριστικής χρονοκλίμακας της ταλαντωτικής κίνησης, καθώς και οι μεταβλητές που (v) θα προσαρμοστούν περισσότερο υπό την επίδραση των γρήγορων χρονοκλιμάκων και (vi) σχετίζονται με το εύρος και την συχνότητα των ταλαντώσεων. Αποδείχθηκε ότι η στιβαρό- τητα (robustness) των ταλαντώσεων του συστήματος μπορεί να εκτιμηθεί εξετάζοντας (i) τη συνεισφορά των συνιστωσών του μοντέλου που παράγουν την χαρακτηριστική χρονοκλίμακα της αργής δυναμικής και (ii) την αλληλεπίδραση της χαρακτηριστικής χρονοκλίμακας με την γρήγορη δυναμική που καθορίζεται από την αργή πολλαπλότητα. Η μελέτη του ομογενούς μίγματος υδρογόνου-αέρα καθόρισε τις περιοχές όπου αναπτύσσο- νται αργές πολλαπλότητες. Τα σχετικά απλοποιημένα μοντέλα κατασκευάσθηκαν με την CSP και μελετήθηκαν τα χαρακτηριστικά τους (ευστάθεια, ακρίβεια κ.λ.π). Επαληθεύτηκαν οι κα- τευθύνσεις που παρέχει η CSP για (i) την επιλογή γρήγορων αργών μεταβλητών/αντιδράσεων και (ii) τα κριτήρια εφαρμογής των κλασσικών μεθόδων QSSA και PEA.

The dynamics of stiff (dissipative) systems, that govern physical processes in the fields of biology and reacting gases, have been studied with the use of the Computational Singular Perturbation method (CSP) algorithm. The theoretical background of this algorithm lies in the Geometric Singular Perturbation Theory (GSPT). GSPT considers dynamical systems with multiple time scales, which exhibit normally hyperbolic exponentially attracting slow invariant manifolds. The CSP method allows to investigate separately the fast and slow dynamics of the system and to identify the components of the mathematical model which are responsible for their emergence. Considering stiff dynamical systems, the slow dynamics of which exhibit oscillatory behavior, it was shown in this thesis that CSP can identify the components responsible for the emergence of the oscillations and examine their robustness. In addition, it was shown that CSP allows for the algorithmic construction of simplified models with high accuracy and provides criteria and directions for the construction of convectional ones with the use of the Quasi Steady State Approximation (QSSA) και Partial Equilibirum Approximation (PEA). Given that the algorithmic character o CSP does not impose any kind of restrictions to the nature, size or complexity of the problem, the metabolic pathway of glycolysis and the autoignition of a hydrogen-air mixture have been studied. It was demonstrated that the CSP algorithmic analysis recovers several well-known assertions about glycolytic oscillations, without requiring further specific biochemical knowledge or further input from the investigator. It was shown that glycolytic oscillations can not be understood as a simple cause-and-effect chain through the intermediates of glycolysis. It was demonstrated that CSP can successfully identify (i) the reactions that are responsible for the development of the fast time scales, (ii) the reactions that participate in the formation of the SIM, (iii) the reactions that drive the oscillatory motion along the SIM, (iv) the reactions that are responsible for the time scale that characterizes the oscillatory motion, (v) the variables that will adjust the most under the action of the fast time scales and (vi) the variables that are associated with the amplitude and frequency of the oscillations. Finally, it was proven that the robustness of the oscillatory motion can be assessed by considering (i) the contribution of the components of the model to the characteristic time scale of the slow dynamics and (ii) the interaction of the characteristic time scale with the fast dynamics which is exercised through the slow invariant manifold. Τhe analysis of the homogeneous hydrogen-air mixture identified two regions where slow invariant manifolds develop. The simplified models were constructed with CSP and their characteristics were studied (i.e. stability, accuracy). Τhe directions provided by CSP for (i) the selection of fast and slow species/reactions and (ii) the criteria for implementing the conventional QSSA and PEA have been verified.