Κυρτότητα σε χώρους Banach

Abstract

Ο σκοπός αυτής της διπλωματικής εργασίας ήταν να μελετήσει τα κυρτά σύνολα, τις κυρτές συναρτήσεις και τις ιδιότητές τους. Η κυρτότητα είναι ένα πολύ σημαντικό χαρακτηριστικό, του οποίου η ύπαρξη μας εξασφαλίζει πολλές χρήσιμες ιδιότητες, γι' αυτό και βρίσκει εφαρμογή σε πολλά πεδία των μαθηματικών και άλλων επιστημών. Δόθηκαν οι αποδείξεις σε σημαντικά θεωρήματα όπως είναι το θεώρημα Καραθεοδωρή, το Mazur, το Krein-Milman και η προβολή σε κλειστό κυρτό σύνολο. Επίσης, διερευνήθηκε η συνέχεια και η παραγωγισιμότητα των κυρτών συναρτήσεων.

The purpose of this thesis was to study convex sets, convex functions and their properties. Convexity is a very important feature, the existence of which brings many useful properties and that's why it has applications in many fields of mathematics and other sciences. Proofs of important theorems were given like Caratheodory theorem, Mazur theorem, Krein-Milman theorem and the projection on a closed convex set. Moreover, convex functions were investigated from the aspect of continuity and differentiability.