Πάχος γραφήματος και παραλλαγές, πάχος σχεδίασης γραφήματος, πολυπλοκότητα

Abstract

Θα αναφερθούμε σε προβλήματα που αφορούν τη σχεδίαση γραφημάτων σε επίπεδο, τα οποία συνήθως βρίσκουν εφαρμογές στα VLSI κυκλώματα και την απεικόνιση των γραφημάτων. Παρουσιάζουμε μια εναλλακτική ώθηση για τη μελέτη της σχεδίασης γραφημάτων από το πεδίο της διαχείρισης της εναέριας κυκλοφορίας και είδικότερα τα πρότυπα που προκύπτουν (ή φαίνονται ως) πτήσεις σε ευθεία μεταξύ αεροδρομίων ή σημείων διέλευσης. Εισάγουμε το πάχος σχεδίασης (\vartheta) της σχεδίασης D ενός γραφήματος ως τον ελάχιστο αριθμό επιπέδων στα οποία μπορούμε να διαχωρίσουμε τις ακμές μιας (αναλλοίωτης) σχεδίασης γραφήματος, έτσι ώστε μέσα σε ένα επίπεδο οι ακμές να μη διασταυρώνονται, και συζητάμε για τις καλά μελετημένες έννοιες του πάχους γραφήματος (\theta), του γεωμετρικού πάχους (\bartheta) και του πάχους εμφύτευσης σε βιβλίο (bt). Εξερευνούμε την ιστορία και σημαντικά αποτελέσματα για το πάχος γραφήματος και το γεωμετρικό πάχος γραφήματος, συμπεριλαμβανομένων των ιδιοτήτων του πάχους του K_n και του K_m,n. Βασιζόμενοι στον ορισμό του πάχους εμφύτευσης σε βιβλίο που χρησιμοποιεί μια κυρτή εμφύτευση των κορυφών του γραφήματος στο επίπεδο, επικεντρονώμαστε στις κυρτές σχεδιάσεις D_conv ενός γραφήματος και παρουσιάζουμε μερικές ιδιότητες, μεταξύ άλλων για να αποδείξουμε εκ νέου ότι bt(K_n) = (D_conv(K_n)) = \lceil n/2 \rceil.Προχωρώντας στις αυθαίρετες σχεδιάσεις του γραφήματος G, ισχυριζόμαστε πως \vartheta(K_n) <= \lceil n/2 \rceil για κάθε σχεδίαση. Στο τελευταίο κεφάλαιο που αφορά στην πολυπλοκότητα, ορίζουμε μια οικογένεια προβλημάτων που αφορούν το πάχος γραφήματος, δίνοντας ιδαίτερη προσοχή στο αντίστοιχο ως προς τη δουλεία μας πρόβλημα χρωματισμού: "Δοσμένης μιας σχεδίασης ενός γραφήματος, μπορούν οι ακμές του να διαχωριστούν σε k επίπεδα;" Χρησιμοποιούμε τα SEG γραφήματα, τα γραφήματα τομής ενός συνόλου ευθυγράμμων τμημάτων στο επίπεδο και την κλάση-υποσύνολο των circle γραφημάτων, για να δείξουμε οτι το πρόβλημα είναι NP-complete τόσο για μια τυχάια k>=3, όσο και για μια κυρτή σχεδίαση k=3, αποδεικνύοντας στην πορεία ότι τα CROSS γραφήματα, τα γραφήματα διασταύρωσης ευθυγράμμων τμημάτων, συμπίπτουν με τα SEG γραφήματα. Τέλος, αναφερόμαστε σε 3 προβλήματα ύπαρξης τριγωνοποίησης για μια σχεδίαση γραφήματος, TRI, poly-TRI και convex TRI, που αφορούν κατ' αντιστοιχία στην τριγωνοποίηση συνόλου σημείων, την τριγωνοποίηση πολυγώνου και την τριγωνοποίηση κυρτού πολυγώνου (ή κυρτού συνόλου σημείων). Παρουσιάζουμε μια παραλλαγή της κλάσης των SEG γραφημάτων, την SEG_h, για να αναπαράγουμε ότι το πρόβλημα TRI είναι NP-complete, ενώ διαμέσου των circle γραφημάτων, το πρόβλημα convex TRI είναι στο P.

In this thesis, we discuss problems of layered graph drawing which usually apply to VLSI cir- cuits and graph visualizations. We present an alternate motivation to study graph drawing from the area of air traffic management and especially the patterns occurring from (or appear- ing as) direct-to flights between airports or waypoints. We introduce drawing thickness (\vartheta) of a graph drawing D as the minimum number of layers to which the edges of a (fixed) drawing of a graph are partitioned to, so that within any layer edges do not cross, and discuss the well studied graph-theoretical thickness (\theta), geometric thickness (\bar\theta) book thickness (bt). We explore the history and significant results on thickness and geometrical thickness, including the thickness properties of K_n and K_m,n. Based on the definition of book thickness using a convex placement of the vertices of the graph, we focus in graph's convex drawings Dconv and present some properties to -among others- independently show that bt(K_n) = (D_conv(K_n)) = \lceil n/2 \rceil. Moving on to arbitrary drawings of graph G, we claim that \vartheta(K_n) <= \lceil n/2 \rceil for any drawing, bound being tight. In the final chapter concerning complexity, we introduce a family of thickness-related problems, paying particular attention on the respective to our work COLOR problem: "Given a drawing of a graph, can its edges be decomposed into k planar layers"? We use SEG graphs, the intersection graphs of line segments on the plane, and their subclass of circle graphs to show the problem is NP-complete both for an arbitrary k >= 3 and a convex drawing k > 3, proving alongside that CROSS graphs, the crossing graphs of line segments, coincide with class SEG. Last, we mention 3 triangulation existence problems for a graph drawing, TRI, poly-TRI and convex TRI, dealing with point set triangulation, polygon triangulation and convex polygon (or convex point set) triangulation respectively. We introduce a variation of the SEG class, SEG_h, to reproduce that TRI is NP-complete, while through circle graphs we get convex TRI is in P.