Πιθανοτικές κατανομές ακραίων βροχοπτώσεων - Εφαρμογή σε παγκόσμια κλίμακα

Abstract

Η ουρά μιας κατανομής, που είναι το το ανώτερο μέρος αυτής, καθορίζει το μέγεθος και τη συχνότητα των ακραίων γεγονότων. Οι πιθανοτικές κατανομές, με βάση τη συμπεριφορά της ουράς τους, μπορούν να ταξινομηθούν σε δύο βασικές οικογένειες: τις κατανομές με «βαριές» ουρές και τις κατανομές με «ελαφριές», με τις δεύτερες να έχουν πιο ήπια και με μικρότερη συχνότητα ακραία γεγονότα. Στην περίπτωση της βροχόπτωσης, η μελέτη της ουράς εξάγει σημαντικά συμπεράσματα για την περίοδο επαναφοράς των ακραίων τιμών της και είναι προφανής η συμβολή της στο σωστό υδρολογικό σχεδιασμό. Προκειμένου να αξιολογηθεί η συμπεριφορά των ακραίων της βροχόπτωσης, εξετάζονται 3 477 σταθμοί σε όλο τον κόσμο, που έχουν μήκος δείγματος άνω των 100 ετών. Σε αυτούς εφαρμόζονται δύο διαδεδομένες γραφικές μέθοδοι με σκοπό μια πρώτη κατάταξη της ουράς τους στις προαναφερθείσες οικογένειες. Η πρώτη μέθοδος είναι η γραφική παράσταση ουράς σε λογαριθμικούς άξονες, η οποία ελέγχει αν η ουρά είναι τύπου δύναμης (βαριά ουρά). Ωστόσο, η προσομοίωση Monte Carlo απέδειξε ότι η μέθοδος αυτή είναι αναξιόπιστη για ακραίες τιμές. Η δεύτερη μέθοδος είναι η Συνάρτηση Μέσης Υπέρβασης (Mean Excess Function), που εκφράζει τη μέση τιμή πάνω από ένα όριο μιας μεταβλητής και το γράφημά της έχει μηδενική κλίση για την Εκθετική κατανομή (οικογένεια λεπτών ουρών). Για την εφαρμογή της μεθόδου κατασκευάστηκαν διαστήματα εμπιστοσύνης για την κλίση της Εκθετικής κατανομής συναρτήσει του μήκους δείγματος. Η επικύρωση της μεθόδου με την προσομοίωση Monte Carlo απέδειξε ότι αυτή δίνει καλά αποτελέσματα ιδιαίτερα για μεγάλα δείγματα. Επιπρόσθετα, γίνεται σύγκριση μεταξύ τεσσάρων νορμών μέσου τετραγωνικού σφάλματος, με σκοπό την εύρεση της πιο αξιόπιστης για την προσαρμογή κατανομής σε ουρά. Χρησιμοποιώντας την αποτελεσματικότερη προσαρμόζονται τέσσερις θεωρητικές κατανομές ουράς στις εμπειρικές ουρές. Οι θεωρητικές κατανομές είναι: η Pareto τύπου II, που είναι κατανομή δύναμης, η Λογαριθμοκανονική, που έχει επίσης βαριά ουρά, η Weibull, που έχει ενδιάμεση και η Γάμμα που έχει λεπτή ουρά και χρησιμοποιείται συχνά στη μελέτη ημερήσιας βροχόπτωσης. Τα αποτελέσματα από την προσαρμογή συνάδουν σε ικανοποιητικό βαθμό με αυτά από τη μέθοδο της Σ.Μ.Υ. Η ανάλυση αποδεικνύει ότι οι κατανομές με βαριές ουρές συμφωνούν καλύτερα με τα μέγιστα των βροχοπτώσεων σε σχέση με τις συχνά χρησιμοποιούμενες κατανομές με ελαφριές ουρές.

The tail of a probability distribution, which is the upper part of it, governs both the magnitude and the frequency of extreme events. The probability distributions can be generally categorized into two families, based on their tail behavior: heavy-tailed and light-tailed distributions, with the latter having milder and less frequent extremes. In the case of rainfall, the study of the tail draws important conclusions concerning the return period of extreme events and its contribution in hydrologic design is obvious. In order to evaluate the behavior of rainfall extremes, 3 477 stations from all over the world with sample size over 100 years are examined. Two common graphical methods are applied in order to classify the empirical tails of rainfall to the above families. The first method, the log-log plot, demonstrates whether the tail is a power-type (heavy-tailed); however, a Monte Carlo study revealed that the method is unreliable for extreme values. The second method, the Mean Excess Function, is based on the mean value of a variable over a threshold and results in a zero slope line when applied and graphically depicted for the Exponential distribution (light-tailed). To apply the method we constructed confidence intervals for the slope of the Exponential distribution as functions of sample size. The validation of the method using Monte Carlo techniques revealed that it performs well especially for large samples. Additionally, four mean square error norms are compared in order to find the most reliable for fitting the distribution tail. The best performing norm is used to fit four different theoretical distribution tails to the empirical tails. The theoretical distributions tails are: the Pareto type II which is a power type, the Lognormal which is also heavy-tailed, the Weibull which has an intermediate tail, and the Gamma which is light-tailed and commonly used to describe daily rainfall. The results from this approach are well-matched with the ones obtained by the application of the Mean Excess Function method. The analysis shows that heavy-tailed distributions are in general in better agreement with the rainfall extremes compared to the commonly used light-tailed ones.