Μελέτη της δυναμικής και των αλληλεπιδράσεων φωτεινών δεσμών σε μη-γραμμικά οπτικά μέσα

Abstract

Η ύπαρξη μέσων στα οποία ο δείκτης διάθλασης εξαρτάται από την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου το οποίο διαδίδεται στα μέσα αυτά, αποτελεί την βάση ανάπτυξης του κλάδου της μη-γραμμικής οπτικής με ένα ευρύ φάσμα εφαρμογών. Μια από τις πιο ενεργές περιοχές ενδιαφέροντος στα μη-γραμμικά οπτικά μέσα είναι η διερεύνηση ύπαρξης και δυναμικής εξέλιξης εντοπισμένων μη-γραμμικών διεγέρσεων, γνωστών και ως σολιτονίων. Σε αυτήν την περιοχή κινείται και η παρούσα διατριβή.

Το πρώτο κεφάλαιο αποτελεί μια σύντομη ανασκόπηση των μοντέλων διάδοσης του ηλεκτρικού πεδίου σε μη-γραμμικα διηλεκτρικά μέσα με έμφαση στο φαινόμενο της αυτοεστίασης και τα χωρικά οπτικά σολιτονία και τις βασικές του ιδιότητες σε επίπεδες και δισδιάστατες γεωμετρίες.

Στο δεύτερο κεφάλαιο εξετάζεται η δυναμική δεσμών με ελλειπτική διατομή και κατάλληλα διαμορφωμένο μέτωπο φάσης ώστε να εμφανίζουν τροχιακή στροφορμή σε μέσα κορεσμένης μη-γραμμικότητας, η οποία προκύπτει από τον συνδυασμό εστιάζουσας μη-γραμμικότητας τρίτης τάξης και αφεστιάζουσας πέμπτης τάξης. Αρχικά παρουσιάζεται η έννοια της στροφορμής σε οπτικές δέσμες και διατυπώνονται οι εξισώσεις διάδοσης (απλή και η συζευγμένη εκδοχή της Cubic Quintic Nonlinear Schrodinger (CQNLS)). Εφαρμόζεται η μεταβολική μέθοδος με γκαουσιανή συνάρτηση για ansatz Εξάγονται οι εξισώσεις εξέλιξης των παραμέτρων που χαρακτηρίζουν τις δέσμες (ημι-άξονες ελλειπτικής διατομής, θέση και ταχύτητα του κέντρου, χωρικό τερέτισμα για κάθε ημι-άξονα και για την περιστροφή, γωνία περιστροφής). Για τις περιπτώσεις μίας δέσμης ή δυο συζευγμένων με κοινό κέντρο βρίσκουμε τα στάσιμα σημεία. Για την περίπτωση δεσμών με διαφορετικά κέντρα διατυπώνουμε ένα τρόπο επιλογής αρχικών παραμέτρων που οδηγούν σε φραγμένη κίνηση των δεσμών. Χρησιμοποιώντας το μοντέλο της μεταβολικής μεθόδου προκύπτει ότι η ύπαρξη στροφορμής μπορεί να οδηγήσει σε άρση της κατάρρευσης που χαρακτηρίζει τις δέσμες σε μη-γραμμικότητες τύπου Kerr. Στην συνέχεια για το μοντέλο κορεσμένης μη-γραμμικότητας, με την βοήθεια αριθμητικής επίλυσης των εξισώσεων διάδοσης και των εκτιμήσεων της μεταβολικής μεθόδου, διαπιστώνουμε ότι δέσμες μετασχηματίζονται από γκαουσιανές σε περιστρεφόμενες ελλειπτικές πεπλατυσμένης κορυφής. Επιλέγοντας σαν μέσα αναφοράς αυτά για τα οποία οι κανονικοποιημένες παράμετροι αυτό/έτερο-εστίασης της μη-γραμμικότητας πέμπτης τάξης είναι μια τάξη μεγέθους μικρότερες των αντιστοίχων τρίτης τάξης διαπιστώνεται ότι δέσμες με αρχική ισχύ της τάξης 10Pcr με 15Pcr διατηρούν σε ικανοποιητικό βαθμό τις αρχικές τιμές ισχύος και στροφορμής. Οι μεταβολές της αρχικής ισχύος επηρεάζουν πιο καθοριστικά την εξέλιξη από ό,τι οι μεταβολές στην στροφορμή. Αντίστοιχες είναι οι διαπιστώσεις και στην περίπτωση συζευγμένων δεσμών με κοινά κέντρα. Σε αυτή την περίπτωση γίνεται σύγκριση μεταξύ των περιπτώσεων που οι ημιάξονες των δύο δεσμών είναι αρχικά παράλληλοι ή κάθετοι μεταξύ τους. Η αύξηση της ελλειπτικότητας οδηγεί στο σπάσιμο των δεσμών. Μεταβάλλοντας την στροφορμή σε δέσμες με σχετικά μεγάλη ελλειπτικότητα μπορούν να προσδιοριστούν περιπτώσεις που αναιρείται ή ενεργοποιείται η διαδικασία διάσπασης. Τέλος γίνεται διερεύνηση χαρακτηριστικών σεναρίων δυναμικής εξέλιξης όταν τα κέντρα αρχικά δεν συμπίπτουν. Το βασικό χαρακτηριστικό που προκύπτει είναι ότι οι δέσμες αποκτούν μη συμμετρική κατανομή ισχύος έτσι ώστε τα κέντρα μάζας να μην ταυτίζονται πλέον με τα σημεία μέγιστης ισχύος. Εκτελούν δε σύνθετη κίνηση κατά την οποία τα κέντρα μάζας διασταυρώνονται εκτελώντας μικρές ταλαντώσεις και ταυτόχρονα διατηρούν μια σχετική περιστροφή μεταξύ τους.

Στο τρίτο κεφάλαιο διερευνούμε την εξέλιξη ενός σολιτονίου σε μη-γραμμικά μέσα τύπου Kerr παρουσία πλέγματος με διαμήκη διαμόρφωση. Χρησιμοποιώντας την μέθοδο φαινόμενου σωματιδίου διατυπώνονται οι εξισώσεις εξέλιξης του κέντρου του σολιτονίου για δύο τύπους διαμήκους διαμόρφωσης (AM και WM). Αρχικά εξετάζεται η συμπεριφορά του σολιτονίου απουσία διαμήκους διαμόρφωσης και υπολογίζεται η περιοχή αρχικών ταχυτήτων για την οποία η κίνηση παραμένει παγιδευμένη και την εξάρτηση της συχνότητας ταλαντώσεων από τις παραμέτρους του πλέγματος. Στη συνέχεια χρησιμοποιώντας την απεικόνιση Poincare του διαταραγμένου συστήματος λόγω της παρουσίας διαμήκους ανομοιογένειας παρουσιάζεται ένας συστηματικός τρόπος με τον οποίο μπορούν να εξετάσουν οι μεταβολές και τα νέα δυναμικά χαρακτηριστικά που προκύπτουν για το σύνολο των αρχικών παραμέτρων. Διαπιστώνεται ότι η δυναμική εξέλιξη εξαρτάται τόσο από την ισχύ όσο και από την ορμή του σολιτονίου. Η απεικόνιση του φασικού χώρου του δυναμικού συστήματος λόγω του ανταγωνισμού των διαφορετικών περιοδικοτήτων (περίοδο χωρικής ταλάντωσης του σολιτονίου στο μη διαμορφωμένο πλέγμα με την περίοδο διαμήκους διαμόρφωσης του πλέγματος) δίνει μια ολοκληρωμένη εικόνα για την πλούσια δυναμική που ενσωματώνεται στα διαμορφωμένα πλέγματα. Με την βοήθεια αριθμητικών προσομοιώσεων επιβεβαιώνεται σημαντική ταύτιση των διαφορετικών δυναμικών σεναρίων που δείχνει η αναλυτική μέθοδος. Προσδιορίζονται λοιπόν, συνθήκες διευρυμένης κινητικότητας, δυναμικής παγίδευσης, οδήγησης και δρομολόγησης, καθώς και νέοι τρόποι παγίδευσης, για παράδειγμα ημιπεριοδικές ταλαντώσεις ή ταλαντώσεις με περίοδο πολλαπλάσια της εγκάρσιας διαμόρφωσης του αδιατάρακτου πλέγματος. Όλα αυτά τα ιδιαίτερα δυναμικά χαρακτηριστικά καθιστούν διατάξεις που ενσωματώνουν διαμορφωμένα πλέγματα υποψήφιες για την επίτευξη πλήρους οπτικού έλεγχου εντοπισμένων δεσμών.

Στο τέταρτο κεφάλαιο παραμένοντας στην επίπεδη γεωμετρία, εξετάζεται η αλληλεπίδραση μονοδιάστατων δεσμών οι οποίες ξεκινάν η μία από το ένα άκρο του μη γραμμικού μέσου και η άλλη από το αντίθετο. Το συγκεκριμένο πρόβλημα αποτελεί ένα ιδιαίτερο πρόβλημα συνοριακών συνθηκών και όχι αρχικών όπως στις συνήθεις περιπτώσεις διάδοσης. Διατυπώνονται οι εξισώσεις εξέλιξης για μη γραμμικότητες τύπου Kerr και κορεσμένης γραμμικότητας καθώς και το αντίστοιχο μεταβολικό πρόβλημα με γκαουσιανό ansatz, για σύμφωνη και ασύμφωνη αλληλεπίδραση. Από τις καμπύλες ύπαρξης διαπιστώνουμε την δυνατότητα οι δέσμες να διατηρούνται εντοπισμένες για όπλο το μήκος αλληλεπίδρασης δημιουργώντας τα λεγόμενα αντιρρέοντα σολιτόνια. Εξετάζεται η ανοχή σε αρχικό τερέτισμα των συνοριακών τιμών το οποίο οδηγεί σε ταλαντώσεις του πλάτους αλλά και στην έκκεντρη τοποθέτηση των αρχικών προφίλ στα άκρα του κυματοδηγού η οποία έχει δραματικότερη επίδραση καθώς το δυναμικό αλληλεπίδρασης μετασχηματίζει το σολιτόνιο.

Τέλος, στα παραρτήματα παρουσιάζουμε εν συντομία την τροποποιημένη αριθμητική μέθοδο split-step για την επίλυση των ειδικών προβλημάτων συνοριακών τιμών του τετάρτου κεφαλαίου. Και την μέθοδο Goodman-Lance για την επίλυση των μεταβολικών διαφορικών εξισώσεων του ίδιου κεφαλαίου. Σε ένα δεύτερο δίνουμε μια σύντομη παρουσίαση της γκαουσιανής δέσμης και των στοιχειών ποιότητας της και τέλος παρουσιάζονται οι βασικές μέθοδοι υπολογισμού του πεμπτοβάθμιου συντελεστή επιδεκτικότητας.

The problems encountered in the present work belong to the area of nonlinear optics. Dielectric media with intensity depended nonlinear refractive index provide the opportunity to investigate the existence and dynamics of localized nonlinear waves, known as solitons.

The first chapter gives a brief exposition of the propagation models for the electric field in nonlinear dielectric media. Emphasis is given in the self-focusing phenomenon, the spatial solitons and their key features for planar and two-dimensional configurations.

In the second chapter we investigate the dynamical features of beams with elliptic amplitude cross-section and properly modulated wavefronts. These beams exhibit orbital angular momentum. They propagate in nonlinear media with focusing cubic and defocusing quintic nonlinear contribution to the refractive index. Applying the variational method with Gaussian ansatz we obtain the dynamical equation of the beam parameters (semi-axis of the elliptical amplitude cross-section, beam center, angle of incidence, spatial chirp related to the semi-axis oscillation and rotation, and angle of rotation). Stationary solutions of the variational system are given and we theoretically predict collapse arrest in Kerr media. In the saturable model we numerically investigate the evolution of the initially Gaussian ansatz that leads to rotating flat-top elliptical beams. The dynamical features persist even for large deviation from the stationary values of power and momentum. In the case of coupled beams there exist vector rotating solitary waves. We compare between two configurations of vector rotating solitons depending on the relative position of their semi-axes. We demonstrate that large ellipticity leads to beam splitting in single and coupled beams cases. When then beam centers do not coincide the coupled beams can get trapped in a complex movement where angular momentum transfer from the rotarting centers to the self-rotating counterparts and vice versa occurs.

In the next chapter soliton dynamics in a large variety of longitudinally modulated lattices are studied in terms of phase space analysis for an effective particle approach and direct numerical simulations. Complex soliton dynamics are shown to depend strongly on both their power/width and their initial momentum as well as on lattice parameters. A rish set of qualitatively distinct dynamical features of soliton propagation that have no counterpart in longitudinally uniform lattices is illustrated. This set includes cases of enhanced soliton mobility, dynamical switching, extended trapping in several transverse lattice periods, and quasiperiodic trapping, which are promising for soliton control applications

In the forth chapter we investigate the initial conditions that give rise to stationary counterpropagating solitons in planar media with Kerr and saturable nonlinearities. The variational technique is used to investigate the effect of pre-chirping and off-center placement of the boundary conditions at the opposite facets of the waveguide. The first one causes the soliton amplitude to vary along the waveguide length. The second one has a more detrimental effect as the soliton experiences a mode transformation. In the last chapter we summarize the main conclusions of the problems investigated in this work and give some guidelines for future investigation.

Finally in the appendix we give a section describing the Goodman-Lance method for numerically solving the boundary conditions ODE problem of the forth chapter and the iterative split-step that solves the propagation problem for counterpropagating soliton. Then we describe the main feature of Gaussian beams and finally we give a short description of the main methods for measuring fifth-order susceptibilities.