Το πρόβλημα αρίστου χρόνου: θεωρία και εφαρμογές

Abstract

Σκοπός της εργασίας είναι η μελέτη του προβλήματος ελέγχου αρίστου χρόνου για γραμμικά συστήματα . Το πρώτο μέρος ( Κεφάλαια 1 – 3 ) της εργασίας επικεντρώνεται στη θεωρία του προβλήματος αρίστου χρόνου . Συγκεκριμένα στο Κεφάλαιο 1 , διατυπώνουμε το γενικό πρόβλημα βελτίστου ελέγχου . Στο Κεφάλαιο 2 , εισάγουμε την έννοια του προσιτού συνόλου για γραμμικά χρονικά μεταβαλλόμενα συστήματα με περιορισμόυς στον έλεγχο και χρησιμοποιώντας κάποιες βασικές τοπολογικές ιδιότητες των προσιτών συνόλων , παρουσιάζουμε τις αναγκαίες συνθήκες που πρέπει να πληρεί ο βέλτιστος έλεγχος (αρχή του μεγίστου). Στο Κεφάλαιο 3 , δίνεται έμφαση στα χρονικά αμετάβλητα γραμμικά συστήματα. Μεταξύ των άλλων μελετώνται η ελεγξιμότητα και η ισοδυναμία συστημάτων μεσω αλλαγης συντεταγμένων και παρέχονται οι ικανές και αναγκαίες συνθηκες για την επίλυση του προβλήματος του αρίστου χρόνου. Το δεύτερο μέρος της εργασίας περιλαμβάνει τέσσερις εφαρμογές επίλυσης του προβλημάτος αρίστου χρόνου . Ξεκινάμε με το πολύ απλό σύστημα του διπλού ολοκληρωτή ( Κεφάλαιο 4 ) και στη συνέχεια περνάμε στην επίλυση πιο σύνθετων προβλημάτων αρίστου χρόνου για συστήματα όπως ο αρμονικός ταλαντωτής μιας εισόδου χωρίς απόσβεση ( Κεφάλαιο 5 ) ,ο αρμονικός ταλαντωτής δύο εισόδων χωρίς απόσβεση ( Κεφάλαιο 6 ) και κλείνουμε με τον αρμονικό ταλαντωτή μιας εισόδου με απόσβεση ( Κεφάλαιο 7 ) .

The purpose of this thesis is the study of the time – optimal control problem for linear systems . The first part ( Chapters 1 – 3 ) of the thesis is concentrated on the theory of the time – optimal control problem . Particularly, in Chapter 1 , we formulate the general optimal control problem . In Chapter 2 , we introduce the concept of the attainable set for timevarying linear systems with constraints in the control and by exploiting some fundamental topological properties of the attainable sets , we present the necessary conditions for the optimal control(maximum principle) . Emphasis is given for the case of time- invariant linear systems (Chapter 3). Among other things, controllability and equivalence via change of coordinates are studied and necessary and sufficient conditions the time – optimal control problem are provided. The second part of the thesis includes four applications for the solvability of the time – optimal control problem . We begin with the simple case of the double integrator ( Chapter 4 ) and we proceed to more complicated problems such as the undamped harmonic oscillator with one input ( Chapter 5 ) , the undamped harmonic oscillator with two inputs ( Chapter 6 ) and we conclude with the damped harmonic oscillator with one input ( Chapter 7 ) .