Non-Linear Isogeometric Analysis with Bouc-Wen Hysteresis Model

Abstract

Σκοπός αυτής της διπλωματικής εργασίας είναι η μελέτη της αποδοτικότητας της μεθόδου ισογεωμετρικής ανάλυσης όταν συνδυάζεται με πλαστική ανάλυση με το υστερητικό μοντέλο Bouc – Wen. Τρία είναι τα κύρια μέρη που απαρτίζουν την εργασία. Το πρώτο μέρος, περιέχει την παρουσίαση των μεθόδων στην υπολογιστική γεωμετρία, το δεύτερο τη μέθοδο ισογεωμετρικής ανάλυσης και το τρίτο τον συνδυασμό του υστερητικού μοντέλου με την ισογεωμετρική ανάλυση.

Στο πρώτο μέρος, κατασκευάζονται σταδιακά τα NURBS. Πρώτα, σημειώνεται πόσο σημαντικές είναι οι μέθοδοι της παρεμβολής και της προσέγγισης στα γραφικά υπολογιστών και την υπολογιστική γεωμετρία. Επιπλέον, τονίζεται η διαφορά μεταξύ των δύο μεθόδων· προς αυτήν την κατεύθυνση, παρατίθενται μερικές καμπύλες παρεμβολής και μερικές προσέγγισης. Η παρουσίαση των τελευταίων καμπυλών ξεκινά με τα πολυώνυμα Bernstein, τα οποία αποτελούν βάση για την κατασκευή των καμπυλών Bézier (ρητών ή μη). Ενώνοντας δύο ή περισσότερες τέτοιες καμπύλες προκύπτει μία καμπύλη B-Spline (ρητή ή μη, αντίστοιχα). Ταυτόχρονα με την μελέτη των μεθόδων κατασκευής όλων αυτών των καμπυλών προσέγγισης, αναπτύχθηκαν κώδικες στη Matlab που υπολογίζουν και εκτυπώνουν καμπύλες, επιφάνειες και στερεά, καθώς και την κ-οστη (κ≤p, όπου p είναι η τάξη της πολυωνυμικής συνάρτησης) παράγωγο σε οποιοδήποτε σημείο του πεδίου ορισμού. Συνεπώς, κάνοντας ένα βήμα τη φορά, επετεύχθη η κατασκευή μιας βιβλιοθήκης από κώδικες Matlab για κατασκευή και εκτύπωση των συναρτήσεων βάσης B-Splines (ρητών NURBS και μη ρητών) και των αντίστοιχων γεωμετριών.

Στο δεύτερο μέρος, παρατίθενται στον αναγνώστη σημαντικά μέρη από το μαθηματικό υπόβαθρο και τη θεωρία των πεπερασμένων στοιχείων. Στη συνέχεια, γίνεται μια προσπάθεια σύνδεσης της θεωρίας των πεπερασμένων στοιχείων με τις γεωμετρικές συναρτήσεις βάσης. Έπειτα, σχολιάζεται ένα πλήθος από διαφορές που εμφανίζουν οι γεωμετρικές και οι συμβατικές συναρτήσεις βάσης στη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων. Στη συνέχεια, κατασκευάζουμε τα κινηματικά μητρώα για το πρόβλημα επίπεδης έντασης και παρουσιάζουμε δύο παραδείγματα γραμμικών προβλημάτων επίπεδης έντασης. Ακόμα, διερευνήθηκε η μέθοδος αριθμητικής ολοκλήρωσης με πολυώνυμα Legendre των γεωμετρικών συναρτήσεων βάσης. Τέλος, έγιναν παραμετρικές αναλύσεις με πύκνωση της διακριτοποίησης και αύξηση του βαθμού συνέχειας των γεωμετρικών συναρτήσεων σχήματος, ώστε να εξακριβώσουμε την ορθότητα του κώδικα που αναπτύξαμε.

Στο τελευταίο μέρος της εργασίας αυτής η ισογεωμετρική ανάλυση συνδυάζεται με το υστερητικό μοντέλο Bouc – Wen. Ο αναγνώστης μπορεί να ενημερωθεί για το φαινόμενο της υστέρησης από την εισαγωγή. Στη συνέχεια ακολουθούν αποσπάσματα της διδακτορική διατριβής του Τριανταφύλλου Σάββα για την μαθηματική μοντελοποίηση του μοντέλου υστέρησης Bouc-Wen σε επίπεδο δυνάμεων και στον πλήρες χώρο των τάσεων. Ακολούθως γίνεται η τεκμηρίωση της νομιμότητας της εφαρμογής του γενικευμένου υστερητικού μοντέλου Bouc-Wen στην ισογεωμετρική ανάλυση. Αναπτύσσονται τα βασικά μητρώα για μια τέτοια ανάλυση και παρουσιάζονται εφαρμογές σε μονοτονική και ανακυκλιζόμενη φόρτιση. Στο τέλος, γίνονται παραμετρικές διερευνήσεις για την απόδοση της μεθόδου και εξάγονται συμπεράσματα.

The aim of this thesis is to study the efficiency of the isogeometric analysis method combined with the material nonlinear analysis by the hysteresis model Bouc – Wen. Three main parts have been created; the first containing computational geometry, the second the Isogeometric analysis method and the third the combination of the Isogeometric analysis method with the Bouc-Wen hysteresis model.

In the first part, the NURBS basis functions are gradually build. Firstly, the importance of interpolation and approximation methods in computer graphics and computational geometry is stated. Furthermore, it is pointed out the difference between them; to this end, we present some interpolatory and some approximatory curves. The presentation of the latter curves starts from the Bernstein polynomials, which set a basis for the construction of Bézier curves (rational or non). A number of these curves are joined one another to form a B-Spline (rational or non, respectively). While studying the construction method of all these approximation curves, the CAGD routines and plotting routines was developed in Matlab, through which curves, as well as surfaces and solids, and the kth (k≤p, where p is the degree) derivative at any point of the domain can be constructed and plotted. To this a very helpful reference is (Les Piegel, Wayne Tiller, 1997). Therefore, taking one step at a time, the construction of NURBS basis functions and a full library of plotting routines was reached.

In the second part, the reader is provided with important mathematical background and theory of the finite elements method. Once the necessary mathematical background is presented, the basic features of the geometric basis functions are analyzed to relate them with the known theory. Afterwards, a number of differences between the geometric basis functions and the classical basis functions (Lagrange) are discussed. Then, the kinematic matrices for the plane stress problem are formed and presented in two examples of linear plane stress problems. Additionally, a research on the numerical integration of the geometric basis functions by Legendre polynomials is conducted. Finally, parametric analyses were done by hp-refinement, so as to verify the soundness of the code we developed.

In the last part of this thesis the isogeometric analysis method is combined with the hysteresis model Bouc – Wen. The reader may gain some general information on the phenomenon of hysteresis by reading the introduction. Afterwards, certain parts of the doctoral thesis of Triantafyllou Savvas are attached about the mathematical modeling of Bouc-Wen hysteresis model in force terms and in the complete stress space. Then, it is shown that the generalized Bouc-Wen model in the complete stress space is compatible with the Isogeometric analysis. The main matrices are developed for such an analysis and two applications are presented under monotonic and cyclic load cases. At the end of the part, the results obtained from a multivariate research on the efficiency of the isogeometric analysis method combined with the Bouc – Wen hysteresis model are attached with certain conclusions.