Στοχαστική Προσομοίωση Monte Carlo

Abstract

Στην διπλωματική αυτή στο πρώτο κεφάλαιο θα δούμε μια σύντομη ιστορική αναδρομή της εξέλιξης των μεθόδων Monte Carlo καθώς και χρήσεις αυτών. Στο δεύτερο κεφάλαιο θα παρουσιάσουμε, χωρίς να επικεντρωθούμε σε αυτό, βασικές μεθόδους παραγωγής «ψευδοτυχαίων» αριθμών. Ακολούθως θα δούμε τις βασικές μεθόδους προσομοίωσης από κατανομές και θα τις εφαρμόσουμε σε γνωστές μας κατανομές. Στο τρίτο κεφάλαιο θα δούμε μεθόδους προσομοίωσης βασικών στοχαστικών ανελίξεων και θα αναλύσουμε τα αποτελέσματα που παίρνουμε από την προσομοίωση. Στα τέταρτο κεφάλαιο θα δούμε την Monte Carlo ολοκλήρωση και θα παρουσιάσουμε τους βασικούς MCMC αλγόριθμους, Metropolis-Hastings και Gibbs, με χρήση παραδειγμάτων. Στο πέμπτο και τελευταίο κεφάλαιο θα δούμε τεχνικές ελάττωσης της διασποράς. Τέλος ακολουθεί η βιβλιογραφία που περιλαμβάνει τις πηγές που χρησιμοποιήσαμε για την συγγραφή αυτής της διπλωματικής. Σε όλα τα παραδείγματα δίνεται και κώδικας γραμμένος στην γλώσσα προγραμματισμού R.

In this thesis we focus on Stochastic Simulation and Monte Carlo methods, which are useful in problems that are difficult to be solved analytically. Monte Carlo methods have a variety of applications in many fields such as mathematics, physics, biology chemistry and economics and can be used to simulate complicated systems. In the first chapter we make an introduction to Monte Carlo methods, present their historical evolution and some applications. In the second chapter we present algorithms for producing “pseudorandom numbers” and we analyze the basic Monte Carlo methods for producing random numbers from a given distribution. At the end of the chapter we use these methods to produce random numbers from commonly used distributions, both continuous and discrete. In the third chapter we simulate from basic stochastic processes (Poisson Process, Brown Movement and Random Walk). In the fourth chapter we introduce Monte Carlo Integration and basic MCMC algorithms (Metropolis-Hastings and Gibbs Sampler). Then we use these algorithms to simulate from distributions, and analyze the results. In the final chapter we present techniques that decrease the variance of the estimators. In every method analyzed in this thesis we provide examples and computer coding in R statistical language.