Πρόβλημα μοναδικότητας της λύσης σε επίπεδα προβλήματα ρωγμών με τη χρήση της μικροπολικής θεωρίας

Abstract

Η παρούσα εργασία ασχολείται με το θεώρημα μοναδικότητας για επίπεδα προβλήματα ρωγμών σε στερεά, που χαρακτηρίζονται από την ύπαρξη φαινομένων βαθμίδας. Η μικροπολική θεωρία προέκυψε από φαινόμενα «ενίσχυσης» στην άμεση γειτονία αιχμών ρωγμής, εγκοπών, μικρών οπών και εγκλεισμάτων. Σύμφωνα με τη θεωρία αυτή, η πυκνότητα παραμορφωσιακής ενέργειας εξαρτάται όχι μόνο από την τροπή αλλά και από τη βαθμίδα της στροφής. Μελετάμε την ανισότροπη γραμμική συμπεριφορά επίπεδου ρηγματωμένου σώματος, σε συνθήκες επίπεδης και αντι-επίπεδης παραμόρφωσης. Τονίζεται ότι, στη γενική περίπτωση προβλημάτων ρωγμών, απαιτείται ένα θεώρημα μοναδικότητας πιο εκτεταμένο από το κλασσικό θεώρημα Kirchoff εξαιτίας της ιδιόμορφης συμπεριφοράς των πεδίων στην αιχμή της ρωγμής. Ένα τέτοιο θεώρημα θέτει περιορισμούς στη συμπεριφορά των πεδίων στη γειτονία των αιχμών ρωγμής. Στην κλασσική Ελαστικότητα, ένα τέτοιο θεώρημα διατυπώθηκε από τους Knowles και Pucik (Knowles, J. K., Pucik, T. A., 1973), οι οποίοι απέδειξαν ότι οι αναγκαίες συνθήκες για μοναδικότητα της λύσης είναι φραγμένα πεδία μετατοπίσεων και καθολικών δυνάμεων. Στην παρούσα εργασία προκύπτει ότι δύο επιπλέον συνθήκες, για φραγμένο πεδίο στροφών και πεδίο καθολικών ροπών, στην άμεση γειτονία των αιχμών ρωγμής, εξασφαλίζουν τη μοναδικότητα στα πλαίσια της γενικής μορφής της μικροπολικής θεωρίας Ελαστικότητας.

The current work deals with the uniqueness theorem for plane crack problems in solids, characterized by gradient elasticity. Micropolar elasticity derives from strengthening effects in the vicinity of crack tips. According to this theory, the strain-energy density is not only dependent on the strain but also on the rotation gradient. We consider an anisotropic material response of the cracked plane body and conditions of plane-strain and anti-plane strain. It is emphasized that, for crack problems in general, a uniqueness theorem more extended than the standard Kirchoff theorem is needed because of the singular behaviour of the solutions at the crack tips. Such a theorem will impose certain restrictions on the behaviour of the fields in the vicinity of crack tips. In standard Elasticity, the theorem needed was established by Knowles and Pucik ( Knowles, J. K., Pucik, T. A., 1973) who showed that the necessary conditions for solution uniqueness are a bounded displacement field and a bounded body-force field. In this study, we show that the additional (to the two previous conditions) requirements of a bounded rotation field and a bounded body couple field in the vicinity of the crack tips guarantees uniqueness within the form of the theory of micropolar elasticity.