Μαθηματικά μοντέλα πληθυσμιακής δυναμικής

Abstract

Η μαθηματική μοντελοποίηση αναφέρεται στον κλάδο των Μαθηματικών που ασχολείται με τη δημιουργία μαθηματικών προτύπων που αναπαριστούν διαδικασίες από τον πραγματικό κόσμο. Είναι γνωστό ότι τα φαινόμενα με τα οποία ασχολείται η φυσική, η οικονομία, η βιολογία και άλλες επιστήμες εκφράζονται μέσω συναρτήσεων. Μελετώντας τις συναρτήσεις αυτές και τις γραφικές τους παραστάσεις συλλέγουμε χρήσιμες πληροφορίες για την εξέλιξη των φαινομένων μέσα σε κατάλληλα επιλεγμένα διστήματα τιμών και μεταβλητών. Στο πλαίσιο αυτό, στόχος της παρούσας διπλωματικής εργασίας είναι η παρουσίαση, διατύπωση και ανάλυση μαθηματικών μοντέλων που μελετούν και περιγράφουν τη δυναμική βιολογικών πληθυσμών. Τα τρία βασικά βήματα που ακολουθούνται στη διαδικασία της μαθηματικής μοντελοποίησης περιλαμβάνουν (1) κατανόηση του φυσικού προβλήματος και κατασκευή του μαθηματικού μοντέλου που αναπαριστά με ακρίβεια τις διαδικασίες του συστήματος που μελετάται, (2) χρήση μαθηματικών μεθόδων για την κατανόηση της συμπεριφοράς του μοντέλου, και (3) ερμηνεία των αποτελεσμάτων για να προσδιοριστεί αν προκύπτουν σημαντικά φυσικά αποτελέσσματα. Στην εργασία αυτή γίνεται μια εισαγωγή στη μοντελοποίηση δυναμικής πληθυσμών και αναλύονται οι διάφοροι παράγοντες που επηρεάζουν τα μαθηματικά μοντέλα. Παρουσιάζονται μερικά πληθυσμιακά πρότυπα ενός είδους όπως το Μαλθουσιανό μοντέλο ανάπτυξης και η Λογιστική εξίσωση. Επίσης αναλύονται πληθυσμιακά πρότυπα δύο και τριών ειδών, μελετώνται αλληλεπιδράσεις πληθυσμών θηρευτή - θηράματος, ειδών που βρίσκονται σε ανταγωνισμό, ενώ γίνεται αναφορά και στην αποκοπή τμήματος πληθυσμού. Τέλος εξετάζονται πληθυσμιακά μοντέλα ηλικιακής δομής διακριτού και συνεχούς χρόνου μέσω των πινάκων Leslie και των εξισώσεων McKendrick αντίστοιχα.

The objective of this thesis is to introduce the formulation, analysis and application of mathematical models that describe the dynamics of biological populations. There are three basic steps in mathematical modeling of biological systems. These steps include (1)formulation of a mathematical model - problem to represent accurately the underlying biological process or systems being studied, (2) solving of the realistic problem with mathematical techniques, and (3) interpretation of the mathematical results in the context of the nonmathematical problem. The first chapter contains basic theory of linear differential equations, stability and phase plane analysis. In the second chapter we present discrete one-species models and we continue in third chapter which deals with the interaction of two and three different species. In the fourth and last chapter we analyze the discrete and continuous age-structured models by presenting Leslie Matrix Model and McKendrick - Von Foester equation respectively.