Η Συνεχής Συζυγής Μέθοδος για τη βελτιστοποίηση τοπολογίας στη μηχανική των ρευστών - Προγραμματισμός μετεπεξεργαστών και εφαρμογές σε προβλήματα της αυτοκινητοβιομηχανίας

Abstract

Η παρούσα διπλωματική εργασία ασχολείται με τη χρήση της συνεχούς συζυγούς μεθόδου για τη βελτιστοποίηση τοπολογίας στη μηχανική των ρευστών και, την εφαρμογή της, σε δύο πραγματικά προβλήματα εσωτερικής αεροδυναμικής της αυτοκινητοβιομηχανίας. Το πεδίο της μεταβλητής του πορώδους εισάγεται μέσω κατάλληλων όρων πηγής στις εξισώσεις της ροής (εδώ στις μέσες κατά Reynolds, μόνιμες κι ασυμπίεστες εξισώσεις Navier-Stokes, όπου η μοντελοποίηση της τύρβης γίνεται με δύο διαφορετικά μοντέλα, τo μοντέλο δύο διαφορικών εξισώσεων k-ε και το μοντέλο μιας διαφορικής εξίσωσης των Spalart-Allmaras), ο προσδιορισμός του οποίου οδηγεί στην εύρεση της βέλτιστης τοπολογίας ροής με στόχο, την ελαχιστοποίηση της υπό εξέταση αντικειμενικής συνάρτησης (εδώ των απωλειών ολικής πίεσης και στις δύο εφαρμογές). Στόχος της συνεχούς συζυγούς μεθόδου, είναι η εύρεση της αναλυτικής έκφρασης της παραγώγου ευαισθησίας της αντικειμενικής συνάρτησης ως προς τη μεταβλητή του πορώδους. Πιο συγκεκριμένα, κατά τη μαθηματική διατύπωση της συνεχούς συζυγούς μεθόδου, οι συνεχείς πεδιακές συζυγείς εξισώσεις και οι οριακές τους συνθήκες προκύπτουν μέσω της παραγώγισης (ως προς τη μεταβλητή σχεδιασμού) της αντικειμενικής συνάρτησης, επαυξημένης με το πεδιακό ολοκλήρωμα των εξισώσεων κατάστασης πολλαπλασιασμένων με τις αντίστοιχες συζυγείς μεταβλητές. Στην παρούσα διπλωματική, κατά την παραγώγιση της επαυξημένης αντικειμενικής συνάρτησης ακολουθήθηκε η λογική της «παγωμένης» τυρβώδους συνεκτικότητας, σύμφωνα με την οποία, οι μεταβλητές του μοντέλου τύρβης θεωρούμε ότι δεν επηρεάζονται από τις μεταβολές της μεταβλητής του πορώδους και, συνεπώς, οι αντίστοιχες εξισώσεις του μοντέλου τύρβης δε λαμβάνονται υπόψη κατά την ολοκλήρωση στο χώρο των εξισώσεων της ροής (δηλαδή, ως εξισώσεις κατάστασης λαμβάνονται μόνο οι εξισώσεις Navier-Stokes). Η όλη διαδικασία, οδηγεί στον προσδιορισμό της αναλυτικής έκφρασης του συστήματος των μερικών διαφορικών συζυγών εξισώσεων και των οριακών τους συνθηκών, η διακριτοποίηση και η επίλυση του οποίου οδηγεί στον προσδιορισμό του συζυγούς πεδίου ροής και, τέλος, της τιμής της παραγώγου ευαισθησίας. Βάσει της τιμής της παραγώγου ευαισθησίας, χρησιμοποιείται η μέθοδος της «απότοτμης καθόδου», ώστε σε κάθε κύκλο βελτιστοποίησης να προσδιορίζεται το πεδίο του πορώδους που δίνει μικρότερη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης συγκριτικά με το αρχικό πρόβλημα, αλλά και κάθε προηγούμενο κύκλο βελτιστοποίησης. Σημειώνεται, ότι η μαθηματική διατύπωση της συζυγούς μεθόδου, όπως και οι επιλύτες της ροής και των συζυγών εξισώσεων αποτελούν συνεισφορά της Μονάδας Παράλληλης Υπολογιστικής Ρευστοδυναμικής & Βελτιστοποίησης. Οι κώδικες επίλυσης, έχουν προγραμματιστεί με τη βοήθεια της βιβλιοθήκης υπολογιστικής ρευστομηχανικής ανοιχτού κώδικα, OpenFOAM. Κύρια συνεισφορά αυτής της διπλωματικής, ήταν ο προγραμματισμός (στο OpenFOAM) ένος μετεπεξεργαστή της βέλτιστης λύσης, στόχος του οποίου είναι αφενός, η οπτικοποίηση του βέλτιστου σχηματιζόμενου καναλιού της ροής κι αφετέρου, η υποβοήθηση του αλγορίθμου βελτιστοποίησης για την αναζήτηση μιας νέας, καλύτερης λύσης, συγκριτικά μ’ αυτή που επιτεύχθηκε κατά την αρχική εφαρμογή του. Τέλος, στο Παρ. Α’ της εργασίας, μαζί με τη δεύτερη μελετούμενη εφαρμογή, παρουσιάζεται και μια διαφορετική θεώρηση στην αρχικοποίηση του πεδίου της μεταβλητής του πορώδους, βασισμένη σε ροϊκά και γεωμετρικά κριτήρια.

This diploma thesis focuses on the use of the continuous adjoint method in topology optimization in fluid mechanics and its application in two, realistic, internal aerodynamics automotive problems. A variable porosity field is introduced through appropriate source terms in the flow equations (in this diploma thesis we are dealing with the Reynolds averaged, steady, incompressible Navier-Stokes equations – RANS –, and the turbulence is being modeled using two different turbulence models, the high-Reynolds k-ε model and the low-Reynolds Spalart-Allmaras model), the determination of which leads to the optimal topology configuration in order the considered objective function to be minimized (in both applications the objective function is the total pressure losses between the inlet and outlet of the flow domain). The continuous adjoint method is used to compute the sensitivity derivatives of the objective function with respect to the porosity variable. To do so, the differentiation of the objective function augmented with the field integrals of the product of the state equations multiplied with the corresponding adjoint variables, is used in order to determine the adjoint field equations and their corresponding boundary conditions. The whole process leads to the adjoint system of partial differential equations, which is discretized and solved in order to compute the adjoint flow field and through it, the derivatives of the augmented objective function. In this study, the «frozen» turbulence assumption is used in the differentiation of the augmented objective function. Based on these derivatives and the usage of the steepest descent method, it is easy to identify a new porosity variable distribution that will give the lowest value of the objective function in comparison to the original flow case and the previous iterations of the optimization algorithm. At this point, it is marked that the mathematical development of the continuous adjoint method and the corresponding solvers of the flow equations and the adjoint field equations, are contributions of the Parallel CFD & Optimization Unit. The open source CFD toolbox, OpenFOAM, was used to program the primal and adjoint flow solvers. The main contribution of this diploma thesis, was the programming (using OpenFOAM) of post-processors, which aim at the visualization of the optimal flow field and the assistance to the optimization algorithm to seek a new, better solution, in comparison to the solution achieved in its last application. Finally, in App. A’, along with the study of the second application, a new approach in variable porosity field initialization, based on flow and geometric criteria, is presented