Επίλυση προβλημάτων πολλαπλών κλιμάκων με τη μέθοδο των υποφορέων

Abstract

Ανέκαθεν ένας καίριος τομέας έρευνας της Υπολογιστικής Μηχανικής ήταν η ανάπτυξη μεθόδων με περιορισμένες απαιτήσεις υπολογιστικού χρόνου και μνήμης για την ανάλυση προσομοιωμάτων μεγάλης κλίμακας (large-scale models). Με τον όρο “προσομοιώματα μεγάλης κλίμακας” εννοούμε λεπτομερή προσομοιώματα κατασκευών με μεγάλο πλήθος αγνώστων βαθμών ελευθερίας, προσομοιώματα δηλαδή που συχνά εξαντλούν τις δυνατότητες των ηλεκτρονικών υπολογιστών από την άποψη χρόνου επίλυσης και απαιτούμενης μνήμης. Έτσι λοιπόν έχουν αναπτυχθεί μέθοδοι που αποσκοπούν στην αποτελεσματική επίλυση τέτοιων προσομοιωμάτων και χαρακτηρίζονται ως “μέθοδοι υψηλών επιδόσεων” (“high-performance solution methods”). Τις τελευταίες δεκαετίες, ο τομέας των μεθόδων υψηλών επιδόσεων έχει μονοπωληθεί από τις μεθόδους επίλυσης με υποφορείς (Domain Decomposition Methods – DDM). Οι εν λόγω μέθοδοι έχουν αποδειχθεί ταχύτερες από άλλες δημοφιλείς κατηγορίες μεθόδων σε σειριακή και κυρίως παράλληλη επεξεργασία, η οποία γνωρίζει ιδιαίτερη άνθιση στα σύγχρονα υπολογιστικά συστήματα. Στη συγκεκριμένη μεταπτυχιακή εργασία, στο πρώτο κεφάλαιο περιγράφεται πώς η πλέον διαδεδομένη μέθοδος επίλυσης με υποφορείς FETI προσαρμόζεται στις ανάγκες επίλυσης προβλημάτων που χρησιμοποιούν τη μέθοδο ανάλυσης πολλαπλών κλιμάκων, μια μέθοδος που συναντάται πλέον συχνά σε προβλήματα μηχανικής. Στο δεύτερο κεφάλαιο, αναλύονται τα θεωρητικά στοιχεία των γενικευμένων προσταθεροποιητών της μεθόδου FETI, η χρήση των οποίων θα αποδειχθεί απαραίτητη σε μια ανάλυση πολλαπλών κλιμάκων. Στη συνέχεια στο τρίτο κεφάλαιο της εργασίας πραγματοποιούνται εφαρμογές της μεθόδου FETI σε ανάλυση πολλαπλών κλιμάκων και ελέγχεται η απόδοση των γενικευμένων προσταθεροποιητών που περιγράφηκαν προηγουμένως. Στο τέταρτο κεφάλαιο πραγματοποιείται η επίλυση φορέων που διακριτοποιούνται τόσο με κλασσικά πεπερασμένα στοιχεία (FEM) όσο και με μια μη πλεγματική μέθοδο (Element Free Galerkin – EFG) με τις μεθόδους επίλυσης με υποφορείς FETI, FETI-DP και P-FETIDP, και στη συνέχεια ελέγχεται η μέθοδος coupling με ramp functions μεταξύ FEM και EFG. Στο πέμπτο και τελευταίο κεφάλαιο της παρούσας εργασίας, αναφέρονται κάποια σχόλια για τη διεξαγωγή των παραδειγμάτων καθώς και σχόλια για μελλοντική έρευνα.

The development of methods with minimum computational cost and memory requirements for the solution of large-scale models has always constituted a key research area in Computational Mechanics. In general, large-scale models are considered to be comprehensive models with a large number of unknown degrees of freedom, whom the solution is meant to be a challenging task in terms of solution time, accuracy and memory requirements for the computer system. In order to handle efficiently such models, methods known as “High-performance solution methods” have attracted the efforts of many research groups around the world. Over the last few decades the field of “High-performance computing” has been monopolized by Domain Decomposition Methods (DDM). The latter have surpassed other popular categories of methods, after being proved more efficient in sequential and particularly in parallel processing environments. In the first chapter of the present thesis, it is analyzed how the most renowned DD method, the FETI method, is transformed in order to accommodate the solution of problems which stem from a multiscale analysis, a type of analysis which is common in contemporary engineering simulations. In the second chapter, the extended preconditioners of the FETI method are described. We will demonstrate that their use will be valuable in a multiscale analysis. In the third chapter of the current thesis, we apply the FETI method in the general framework of a multiscale analysis and the performance of the extended preconditioners is checked. Next, in the fourth chapter, we employ the DD methods FETI, FETI-DP and P-FETIDP for the solution of domains discretized both with Finite Elements (FEM) and the Element Free Galerkin Method (EFG) and later we check the performance of the coupling method with ramp functions between FEM and EFG. Finally, in the fifth chapter, some comments on the execution of the examples and comments on future research are presented.