Ελαστοδυναμική απόκριση πλαισίου λόγω κίνησης της βάσης του

Abstract

Ο σκοπός αυτής της διπλωματικής εργασίας είναι η μελέτη της δυναμικής απόκρισης ενός σχετικά απλού πλαισίου, όταν η διέγερσή του οφείλεται σε δεδομένη κίνηση των στηρίξεών του. Πρόκειται για ένα επίπεδο, ορθογωνικό και συμμετρικό πλαίσιο ενός ανοίγματος που εδράζεται επί γραμμικά ελαστικού εδάφους. Το ζύγωμα και τα υποστυλώματα είναι πρισματικές ράβδοι με σταθερή ακαμψία και σταθερή κατανομή μάζας. Η ελαστική σύνδεση του καθενός από τους δύο κόμβους στήριξής του με τη βάση, προσομοιώνεται με ένα στρεπτικό ελατήριο και ένα κατακόρυφο αξονικό ελατήριο. Η βάση θεωρείται σαν ένας ενιαίος, στερεός (άκαμπτος) δίσκος που εκτελεί δεδομένη γενική επίπεδη κίνηση. Η δυναμική συμπεριφορά του πλαισίου προσεγγίζεται με δύο μεθόδους, α) με τη προσεγγιστική - αναλυτική "Μέθοδο των Υποθετικών Ιδιομορφών" και β) με τη "Δυναμική Μέθοδο των Μετακινήσεων των Κόμβων" ή "Δυναμική Μέθοδο Ακαμψίας". Στο Α'Μέρος παρουσιάζεται η μεθοδολογία της Μεθόδου των Υποθετικών Ιδιομορφών. Επιλέγονται ως γενικευμένες συντεταγμένες οι αδέσμευτοι βαθμοί ελευθερίας (μετατοπίσεις και στροφές) των τεσσάρων κόμβων του και ως συναρτήσεις σχήματος, οι τέσσερις βασικές στατικές παραμορφώσεις του απλού στοιχείου δοκού. Με χρήση των εξισώσεων Lagrange καταστρώνονται οι διαφορικές εξισώσεις κίνησης. Υπολογίζονται οι ιδιοσυχνότητες και ιδιομορφές της ελεύθερης ταλάντωσης και οι επιδρώσες αδρανειακές δυνάμεις, που οφείλονται στην επιτάχυνση των στηρίξεων του πλαισίου. Με χρήση της Ιδιομορφικής Ανάλυσης (Modal Analysis) ευρίσκεται η απόκριση του πλαισίου για οποιαδήποτε κίνηση της βάσης. Στο Β'Μέρος , με τη Δυναμική Μέθοδο των Μετακινήσεων των Κόμβων ή Δυναμική Μέθοδο Ακαμψίας, υπολογίζονται αναλυτικά οι ακριβείς -και όχι προσεγγιστικές- ιδιοσυχνότητες και ιδιομορφές της ελεύθερης ταλάντωσης του πλαισίου. Ως συναρτήσεις σχήματος χρησιμοποιούνται οι μορφές αρμονικής ταλάντωσης στοιχείου δοκού με σταθερή κατανομή μάζας και ακαμψίας, λόγω μοναδιαίας αρμονικής διέγερσης των τεσσάρων βαθμών ελευθερίας του. Ευρίσκεται το τοπικό μητρώο δυναμικής ακαμψίας του στοιχείου δοκού. Βάσει αυτού, καταστρώνεται το καθολικό μητρώο δυναμικής ακαμψίας. Οι ιδιολύσεις του είναι οι ζητούμενες ακριβείς ιδιοσυχνότητες και ιδιομορφές ελεύθερης ταλάντωσης. Με τη μέθοδο της Ιδιομορφικής Ανάλυσης, χρησιμοποιώντας τις ακριβείς ιδιολύσεις, είναι πλέον εφικτό να υπολογίσει κανείς την ακριβή απόκριση του πλαισίου για οποιαδήποτε δεδομένη εξωτερική διέγερση. Για τον υπολογισμό της ακριβούς απόκρισης λόγω κίνησης της βάσης διεξάγεται η κατάστρωση του ακριβούς καθολικού μητρώου μάζας του πλαισίου. Στηριζόμενοι σε αυτό, προχωρούμε στον υπολογισμό των επιδρωσών αδρανειακών δυνάμεων, χρησιμοποιώντας τις επιταχύνσεις των γενικευμένων συντεταγμένων, οι οποίες οφείλονται στη δεδομένη κίνηση των στηρίξεων. Κατά συνέπεια, είναι πλέον εφικτός ο υπολογισμός της απόκρισης του πλαισίου λόγω δεδομένης κίνησης της βάσης του.

The purpose of this thesis is to study the dynamic response of a relatively simple frame due to given motion of its supports.This frame is flat, rectangular and symmetrical, mounted on linear elastic soil. Its parts are prismatic with constant stiffness and mass distribution. The elastic connection of each of the two support nodes of the base, is simulated by a torsion spring and a vertical axial spring. The base is considered as a single, solid disc that performs a given general plane motion.The dynamic behavior of the frame is accessed by two methods: a) the approximate - analytic "Assumed Modes Method" and b) the "Dynamic Method of Displacement of Nodes" aka "Dynamic Stiffness Method".

a) Presentation of the methology. As "generalized coordinates" are used the degrees of freedom (displacements and rotations) of the four nodes and as shape functions the four basic static deformations of beam element. From the Lagrange equations, disclose the differential equations of motion. The eigenfrequencies, the modes of free vibration and the effective forces (due to the acceleration of the frame's mounts) are calculated. Modal Analysis is used to compute the frame's response for any movement of the base.

b) The precise -not approximate- eigenfrequencies and modes of free vibration are calculated. As shapes functions are used the modes of harmonic oscillation of the beam element, with constant mass distribution and stiffness, due to unit harmonic excitation of its four degrees of freedom. The local and global dynamic stiffness matrix give the precise eigenfrequencies and modes. The calculation of the response is possible by using Modal Analysis.

Also: Comparison of the eigenfrequencies and modes of the two methods and for several parameters. Videos of free vibration and videos of base's given vibration.