Το Regularity Lemma του Szemeredi και οι εφαρμογές του στην θεωρία γραφημάτων

Abstract

Το Regularity Lemma του Szemeredi θεωρείται ένα θεμελιώδες εργαλείο στην θεωρία γραφημάτων. Μιλώντας απλά, το Regularity Lemma μας λέει ότι ένα τυχαίο πυκνό γράφημα μπορεί να προσεγγιστεί από ψευδοτυχαία γραφήματα. Διαφορετικά, μπορούμε να πούμε ότι σε ένα τυχαίο πυκνό γράφημα μπορούμε να βρούμε μια διαμέριση κορυφών του τέτοια ώστε τα ζευγάρια συνόλων κορυφών της διαμέρισης να είναι pseudo-random. Η πιο σημαντική εφαρμογή του λήμματος είναι αυτή στην απόδειξη του περίφημου θεωρήματος του Szemeredi για την ύπαρξη αριθμητικών προόδων τυχαίου μήκους σε σύνολα θετικής πυκνότητας. Άλλες εφαρμογές του είναι στην Extremal Graph Theory καθώς επίσης και σε πολλά προβλήματα της επιστήμης των υπολογιστών.

Szemeredi's Regularity Lemma is considered to be a fundamental tool in graph theory. In simple words, Regularity Lemma states that we can approximate an arbitrary dense graph with some pseudo-random graphs. Speaking differently, we can say that for an arbitrary dense graph we can find a partition of its vertex set such as every every pair of sets in this partition is pseudo-random. The most important application is in the proof of Szemeredi's theorem regarding the existence of arithmetic progressions of arbitrary length in sets of positive density. Other applications can be found in the fields of Extremal Graph Theory and Computer Science.