Εντροπία εναγκαλισμού και καταστάσεις τάξεως σε συστήματα ισχυρά συσχετιζόμενων ηλεκτρονίων

Abstract

Επίκεντρο της παρούσας εργασίας είναι η εντροπία εναγκαλισμού σαν μέγεθος προς την ποσοτικοποίηση του. Στο πρώτο κεφάλαιο γίνεται μία αναφορά γύρω από τον ορισμό του εναγκαλισμού, ενώ αποσαφηνίζονται οι έννοιες των καθαρών καταστάσεων και των στατιστικών μειγμάτων. Ακολουθεί εκτενής περιγραφή της εντροπίας εναγκαλισμού και παρατίθενται διάφορα παραδείγματα για φερμιόνια και μποζόνια σε μία διάσταση. Η μελέτη της εντροπίας επεκτείνεται και σε συστήματα περισσότερων διαστάσεων, ενώ γίνεται και μία αναφορά στην τοπολογική εντροπία εναγκαλισμού. Τέλος εξετάζονται συνοπτικά και κάποιες περιπτώσεις κλασσικών συστημάτων. Εν συνεχεία αναλύεται η έννοια της συμφωνίας (concurrence) και ο ρόλος της σαν μέτρο του εναγκαλισμού, στα πλαίσια του εναγκαλισμού σχηματισμού (entanglement of formation). Σαν παράδειγμα για την συμφωνία παρουσιάζεται μία εργασία κατά την οποία γίνεται η μέτρησή της σε μία κατάσταση BCS και η προσέγγισή της στο συνεχές όριο. Ακολούθως παρατίθενται οι μέθοδοι μέσω των οποίων εξάγονται οι σχέσεις των εντροπιών Renyi και von Neumann. Στο ίδιο κεφάλαιο περιγράφονται και οι συσχετισμοί της στατιστικής φορτίου με την εντροπία εναγκαλισμού Στην συνέχεια γίνεται ο διαχωρισμός μεταξύ των χωρικών και των σωματιδιακών καταμερισμών για την μέτρηση του εναγκαλισμού. Παρουσιάζεται ένα αναλυτικό παράδειγμα για την εξαγωγή της μήτρας πυκνότητας σε αυτές τις δύο περιπτώσεις και τονίζονται οι διαφορές τους. Τα τελευταία κεφάλαια της θεωρίας παρουσιάζουν τον τρόπο εξαγωγής των ανηγμένων μητρών πυκνότητας από τις συναρτήσεις συσχετισμού και την δυναμική του εναγκαλισμού. Πιο συγκεκριμένα, στο τελευταίο κεφάλαιο της θεωρίας γίνεται η μελέτη της διάδοσης, της εξέλιξης και της δημιουργίας του εναγκαλισμού. Τέλος παρατίθενται τα αποτελέσματα για την μέτρηση της εντροπίας von Neumann μέσω ενός προγράμματος που αναπτύχθηκε στα πλαίσια της εργασίας, για μία κατάσταση ροής, μία χειρόμορφη κατάσταση και μία τροποποιημένη εκδοχή της κατάστασης ροής στην οποία εισάγεται και ένας συντελεστής ο οποίος μεταβάλλεται σε συνάρτηση με την σχετική θέση του σημείου στο πλέγμα.

Τhe present work focuses is entanglement entropy as a measure of entanglement. In the first chapter we refer to the definition of entanglement and we clarify the concept of pure and mixed states. Thereafter, an extensive description of the entanglement entropy follows and several examples concerning fermions and bosons in one dimension are given herewith. The entropy study is also expanding in systems of higher dimensions, while a reference to the topological entanglement entropy is made. Last a few cases of classical systems are briefly examined. The concurrence and its role as a measure of entanglement are seen thoroughly in the framework of entanglement of formation. As an example of concurrence a related paper is presented according to which the concurrence measurement and its approach to the continuum limit is being held for a BCS state. I forward afterwards the methods through which the relations of Renyi and von Neumann entropies are extracted. In the same chapter the correlations of charge statistics and entanglement entropy are described. The distinction between spatial and particle partitioning for the entanglement measure is following. There is presented a detailed example for the calculation of the reduced density matrix in the aforementioned cases and their differences are stressed. The last chapters of the theoretical basis present the way of extraction of the reduced density matrices through correlation functions and the entanglement dynamics. More specifically, during the last theory chapter, the study of propagation, evolution and formation of entanglement is being held. Last, I forward the results concerning measurement of von Neumann entropy through a program developed in the contexts of the project for a flux state, a chiral state and a modified version of the flux state, where a coefficient which varying according to relative position of a point of the grid is introduced.