Παράλληλοι υπολογισμοί για το πρόβλημα των αλγεβρικών μονοπατιών

Abstract

Το πρόβλημα των αλγεβρικών μονοπατιών αντιπροσωπεύει μία γενικευμένη κλάση προβλημάτων. Στην κλάση αυτή υπάγονται αρκετά προβλήματα από διαφορετικούς τομείς της θεωρητικής πληροφορικής, για παράδειγμα προβλήματα που σχετίζονται με την θεωρία γραφημάτων, με δίκτυα επικοινωνίας, προβλήματα σχετικά με πίνακες και τέλος προβλήματα που αφορούν σε κανονικές γλώσσες. Επομένως, η εύρεση ενός αποδοτικού αλγορίθμου για την λύση του γενικού προβλήματος,θα αποτελούσε άμεσα μία αποδοτική λύση και για όλες τις κατηγορίες προβλημάτων που υπάγονται σε αυτό. Κάτι τέτοιο, βέβαια, δεν καθιστά ανώφελη την μελέτη των ειδικών κατηγοριών, καθώς,όπως θα δούμε στην συνέχεια, εξαιτίας των επιπλέον ιδιοτήτων που έχουν κάποια υποπροβλήματα μπορούμε να έχουμε αποδοτικότερους αλγορίθμους για τα προβήματα αυτά. Η θεωρητική μελέτη παράλληλων υπολογισμών ξεκίνησε την δεκαετία του '70. Η τεράστια υπολογιστική ισχύς που μπορούμε να αποκτήσουμε μέσω των παράλληλων συστημάτων αποτελεί το ουσιαστικό κίνητρο για την διερεύνηση του πεδίου αυτού. Κατά την διάρκεια όλων αυτών των χρόνων διάφορα μοντέλα παράλληλων υπολογιστών έχουν προταθεί, κανένα όμως δεν κατάφερε να γίνει ευρέως αποδεκτό ως κυρίαρχο, όπως έχει συμβεί με το μόντελο του von Neumann στους σειριακούς υπολογιστές. Το μοντέλο βάσει του οποίου μελετάμε και συγκρίνουμε τους παραλλήλους αλγορίθμους είναι ένα αρκετά διαδεδομένο μοντέλο, το BSP. Το μοντέλο αυτό είναι αρκετά ρεαλιστικό και ταυτόχρονα επαρκώς απλό, με αποτέλεσμα η κατασκευή και η ανάλυση αλγορίθμων βασιζόμενων στο μοντέλο αυτό να είναι απλή και ευνόητη.

Algebraic path problem represents a generalized class of problems. This class consists of several problems, which fall under different fields of computer science, e.g. problems related to graph theory, communication networks, matrix problems, as well as regular language problems. Hence, designing an efficient algorithm for solving the general problem, would provide instantaneously an efficient solution to all the subcategories of the problem. However, this observation does not make useless the studying of several subcases, since, as we will present, due to some extra properties that some subproblems have, more efficient algorithms exist. In the current thesis, initially, are being presented sequential algorithms for the algebraic path problem, and for several subproblems as well. Next, we present parallel algorithms for solving the same problems. The theoretical study of parallel computation begun in the decade of '70. The main motivation for studying such algorithms is the fact that through parallel computers we could obtain tremendous computing power. During the years a great variety of parallel models has been proposed in the literature, however, none achieved to be universally accepted as dominant, in the same way as von Neumann model is for sequential computing. The model on which parallel algorithms are compared and analyzed through this thesis is the BSP model. The proposed model is realistic enough and adequately simple as well, as a result design and analysis of algorithms, based on this model, becomes easier and more comprehensible.