Η ενοποιημένη μέθοδος των διφασικών δυναμικών στη διερεύνηση της αλληλεπίδρασης ιδιομορφιών με διεπιφάνειες και ρωγμές σε διυλικά

Abstract

Η παρούσα διατριβή ασχολείται με την μελέτη της αλληλεπίδρασης ιδιομορφιών με ρηγματωμένες ή μη διεπιφάνειες διυλικών, για οποιοδήποτε συνδυασμό ελαστικής ανισοτροπίας των μερών που τα συνιστούν. Η μελέτη γίνεται στα πλαίσια της γραμμικής ελαστικότητας του ανισότροπου και ισότροπου υλικού, χρησιμοποιώντας το προσομοίωμα των δύο συνδεδεμένων ελαστικών ημιχώρων με μια επίπεδη διεπιφάνεια. Οι ιδιομορφίες που μελετώνται είναι η γραμμική εξάρμωση, η γραμμική δύναμη και μια ομοιόμορφη τάση, που εφαρμόζεται στα απομακρυσμένα σύνορα των ελαστικών ημιχώρων. Η ανάλυση των σχετικών ελαστικών προβλημάτων γίνεται με επέκταση της μεθόδου των διφασικών δυναμικών, που έχει αναπτυχθεί για ισότροπα και ανισότροπα διυλικά, σε διυλικά για οποιοδήποτε συνδυασμό ελαστικής ανισοτροπίας των επιμέρους υλικών τους. Η επέκταση της μεθόδου επιτυγχάνεται με την ανάπτυξη μιας νέας αντιπροσώπευσης της γενικής λύσης του διδιάστατου ελαστικού προβλήματος της ισότροπης ελαστικότητας. Η γενική αυτή λύση, προκειμένου να δημιουργηθεί φορμαλιστική αντιστοιχία με την αντίστοιχη γενική λύση του ανισότροπου προβλήματος, διατυπώνεται σε μητρωική μορφή σε όρους μιας μητρωικής συνάρτησης στήλης, που τα στοιχεία της είναι τρείς ολόμορφες μιγαδικές συναρτήσεις. Η γενική λύση που αποκτήθηκε οδηγεί σε εκείνη της συνεπίπεδης ελαστικότητας των Kolosov-Muskhelishvili, καθώς και στην λύση της αντιεπίπεδης ελαστικότητας, που έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια της μιγαδικής θεωρίας. Με βάση την διατύπωση του Eshelby και των συνεργατών του για την ανισότροπη ελαστικότητα, και την διατύπωση που αναπτύχθηκε παραπάνω για την ισότροπη ελαστικότητα, αναπτύσσονται γενικές αντιπροσωπεύσεις της λύσης του διδιάστατου ελαστικού προβλήματος, για οποιοδήποτε συνδυασμό ελαστικής συμμετρίας των συνδεδεμένων ελαστικών μέσων του διφασικού συστήματος. Οι αντιπροσωπεύσεις αυτές της λύσης εκφράζονται σε όρους δύο μητρωικών συναρτήσεων στήλης, των οποίων τα στοιχεία είναι τρείς ολόμορφες μιγαδικές συναρτήσεις. Οι μητρωικές αυτές συναρτήσεις αποτελούν τα διφασικά δυναμικά του διφασικού συστήματος. Για όλους τους συνδυασμούς ανισοτροπίας του συστήματος, δηλαδή για ανισότροπο/ανισότροπο, ισότροπο/ισότροπο και ανισότροπο/ισότροπο σύστημα, δείχνεται ότι οι γενικές αντιπροσωπεύσεις της λύσης ανάγονται σε μια ενιαία μορφή, που εμπλέκει τα διφασικά δυναμικά του συστήματος και δύο διφασικά μητρώα συντελεστών. Η ενοποιημένη μέθοδος των διφασικών δυναμικών, που αναπτύχθηκε, εφαρμόσθηκε επιτυχώς για την επίλυση μιας σειράς ελαστικών προβλημάτων του διφασικού συστήματος για τις ιδιομορφίες που προαναφέρθηκαν. Συγκεκριμένα, από την επίλυση των σχετικών προβλημάτων, αποκτήθηκαν τα πλήρη ελαστικά πεδία στο σύστημα, για μια γραμμική εξάρμωση και μια γραμμική δύναμη, που εφαρμόζονται κοντά στην διεπιφάνειά του. Επίσης, η αναπτυχθείσα μέθοδος εφαρμόζεται στην επίλυση των σχετικών ελαστικών προβλημάτων του διφασικού συστήματος για ομοιόμορφες τάσεις, που εφαρμόζονται στα απομακρυσμένα σύνορα των συνδεδεμένων μέσων. Από την επίλυση των προβλημάτων αυτών προσδιορίσθηκαν τα ελαστικά πεδία στο σύστημα, καθώς και οι συνθήκες που πρέπει να ικανοποιούν οι εφαρμοζόμενες ομοιόμορφες τάσεις, προκειμένου να υπάρχει συμβιβαστότητα στις διεπιφανειακές μετατοπίσεις και ισορροπία του συνολικού συστήματος. Στη συνέχεια, τα προηγούμενα αποτελέσματα της διατριβής χρησιμοποιήθηκαν για την ελαστική ανάλυση του διφασικού συστήματος, όταν υπάρχει μια ρωγμή στην διεπιφάνειά του και το σύστημα καταπονείται από τις ιδιομορφίες που προαναφέρθηκαν. Η λύση των σχετικών ελαστικών προβλημάτων αποκτιέται σε όρους των διφασικών δυναμικών του συστήματος, ενώ λεπτομερή αποτελέσματα παρέχονται για την γραμμική εξάρμωση, την γραμμική δύναμη και την ομοιόμορφη φόρτιση στο άπειρο. Έτσι, αποκτήθηκαν οι γενικές λύσεις για τη γραμμική εξάρμωση και τη γραμμική δύναμη στην περίπτωση του ισότροπου/ανισότροπου διυλικού. Δείχθηκε ότι ο ορισμός των ελαστικών τοπικών πεδίων στην άκρη της ρωγμής μπορεί να γίνει μονοσήμαντα και με ενιαίο τρόπο για όλους τους συνδυασμούς ανισοτροπίας του συστήματος. Επίσης, ότι ο διεπιφανειακός ελκυστής, το άνοιγμα της ρωγμής κοντά στο άκρο της και ο λόγος του ρυθμού απελευθέρωσης ενέργειας έχουν κοινή δομή για όλους τους συνδυασμούς ανισοτροπίας του συστήματος και μπορούν να εκφρασθούν με μοναδικό τρόπο για όλους τους συνδυασμούς ανισοτροπίας με κατάλληλο ορισμό των συντελεστών έντασης των τάσεων. Δείχθηκε ότι το άνοιγμα της ρωγμής συνδέεται γραμμικά με τον διεπιφανειακό ελκυστή των τάσεων. Η γραμμική σχέση αποκαλύπτει ότι για έναν οποιονδήποτε συνδυασμό ανισοτροπίας των δύο φάσεων, υπάρχουν τρεις κάθετες μεταξύ τους διευθύνσεις, όπου οι συνιστώσες του ελκυστή που αντιστοιχούν στις διευθύνσεις αυτές είναι ανάλογες των συνιστωσών του ανοίγματος της ρωγμής στις διευθύνσεις αυτές.

The main object of the present work is the study of the interaction of singularities with cracked and un-cracked interfaces of a composite body consisting of two dissimilar materials perfectly bonded along the interface, for any combination of elastic anisotropy of their parts. The study is a part of the linear elasticity of the isotropic and anisotropic material, using the model of two elastic half spaces associated with a linear interface. The singularities studied are the linear dislocation, the linear force and a uniform force applied to the remote border of the half-spaces. The analysis of the problems uses the extension of the two-phase potential method, developed for isotropic and anisotropic bi-materials, in any combination of elastic anisotropy of the individual materials. The extension of the method is achieved by developing a new representation of the two-dimensional elastic solution of isotropic elasticity. The general solution, in order to create formalistic line with the corresponding general solution of anisotropic problem, is formulated in matrix form in terms of a matrix column-function, whose elements are three holomorphic complex functions. The general solution obtained is that of in-plane elasticity developed by Kolosov-Muskhelishvili, and the solution of anti-plane elasticity, that has been developed using the complex theory. Based on the formulation of Eshelby et al. for the anisotropic elasticity, and the formulation developed above for the isotropic elasticity, there has been developed representations of the general solution of the two-dimensional elastic problem, for any combination of elastic symmetry of the associated elastic materials of the bimaterial system. The representations of the solution are expressed in terms of two matrix column-functions, whose elements are three holomorphic complex functions. These matrix functions are the two-phase potentials of the two-phase system. For all combinations of anisotropy of the system, anisotropic / anisotropic, isotropic / isotropic and anisotropic / isotropic bimaterial, it is shown that the general representations of the solution are reduced to a single form, which involves the two-phase potentials of the system and the two two-phase matrices of the coefficients. The integrated method of two-phase potentials, developed, applied successfully to solve a series of elastic problems of the two-phase system for the singularities mentioned above. Specifically, using the resolution of relative problems, there is obtained the full elastic fields in the system, for a linear dislocation and a linear force applied near the interface. Also, the developed method is applied to solving the elastic problems of the two-phase system for a uniform stresses, applied to a remote border of the connected materials. By solving these problems there are determined the elastic fields in the system, and the conditions that must be met by uniform stresses applied to a remote border in order to ensure equilibrium in the direction of the x2-axis and strain compatibility along the interface. Then, the previous results of the dissertation, used for the analysis of the bimaterial, when a crack is present on the interface and the loading of the system is the singularities mentioned above. The solution of the elastic problem is obtained in terms of the two-phase potentials of the system, while detailed results are provided for the linear dislocation, linear force and uniform loading at infinity. Thus, there are obtained the general solutions for the case of linear dislocation and linear force in the case of isotropic / anisotropic bimaterial. It was shown that the definition of local elastic fields at the edge of the crack can be uniquely identified for all combinations of anisotropy of the system. Also, that the interfacial traction vector, the crack opening near the edge and the ratio of the energy release rate have a common structure for all the combinations of anisotropy of the system and can be expressed uniquely for all combinations of anisotropy with appropriate definition of the stress intensity factors. It was shown that the crack opening is linearly related to the interfacial traction vector. This linear relationship reveals that for any combination of anisotropy of the two phases, there are three orthogonal directions, where the components of traction corresponding to these directions are analogous to the components of the crack opening at these directions.