Εκτιμήσεις Σφαλμάτων για τη Μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων σε Ελλειπτικά και Παραβολικά Προβλήματα

Abstract

Μελετάμε τη Μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων για Ελλειπτικά και Παραβολικά Προβλήματα. Ξεκινάμε με μια εισαγωγή από το πεδίο της Συναρτησιακής Ανάλυσης δίνοντας έμφαση στους Χώρους Sobolev και στις βασικές τους ιδιότητες. Στη συνέχεια μελετάμε τις Ελλειτπικές Εξισώσεις Δεύτερης Τάξης, εξετάζοντας την ύπαρξη και μοναδικότητα Ασθενών Λύσεων,την Ομαλότητα των λύσεων, Ενεργειακές Εκτιμήσεις καθώς και την Αρχή Μεγίστου. Στο Κεφάλαιο 3 εξετάζουμε τη Μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων για τις Ελλειπτικές Εξισώσεις και με τη βοηθεία εργαλείων από τη Συναρτησιακή Ανάλυση και τη Θεωρία των Πεπερασμένων Στοιχείων αποδεικνύουμε εκτιμήσεις σφαλμάτων για τη μέθοδο. Στο επόμενο κεφάλαιο, μελετάμε τις Παραβολικές Εξισώσεις Δεύτερης Τάξης, εξετάζοντας θέματα ύπαρξης και μοναδικότητας Ασθενών Λύσεων,καθώς και Ομαλότητας. Αναφερόμαστε ακόμα σε στοιχεία από τη Θεωρία Ημιομάδων και στην εφαρμογή τους σε αυτή την κατηγορία προβλημάτων. Στο Κεφάλαιο 5 περιγράφουμε τον τρόπο που εφαρμόζεται η Μέθοδος των Πεπερασμένων Στοιχείων στα Παραβολικά Προβλήματα, εξετάζοντας τη Μέθοδο Euler-Galerkin, καθώς και πιο γενικές περιπτώσεις και καταλήγουμε σε εκτιμήσεις σφαλμάτων που ισχύουν για τη μέθοδο. Τέλος,στο Κεφάλαιο 6 χρησιμοποιούμε το πρόγραμμα FreeFem++ για να επαληθεύσουμε τις εκτιμήσεις των προηγούμενων κεφαλαίων.

In this diploma thesis we study the Finite Element Method for Elleiptic and Parabolic Problems. We begin with an introduction on Functional Analysis, emphasizing on Sobolev Spaces and their major properties. In the next chapter, we discuss the Elleiptic Partial Differential Equations of Second Order, where we study the existence and uniqueness of Weak Solutions, the Regularity of the solutions, Energy Estimations and the Max Principle. In Chapter 3, we focus on the Finite Element Method for Elleiptic PDEs and we derive some estimation errors, using theoretical tools from Functional Analysis and the Theory of the Finite Element Method. In the next chapter we describe the Parabolic PDEs of Second Order, focusing on the existence and uniqueness of the Weak Solutions and the Regularity of the solutions. We also study the Semi-Group Theory and the ways it can be applied to Parabolic PDEs. In Chapter 5, we describe the use of the Finite Element Method in Parabolic PDEs by studying the Euler-Galerkin Method and some more general cases. We also derive estimation errors for the method. Lastly, in Chapter 6, we use the FreeFem++ program in order to validate the estimation errors derived in the previous chapters.