Μέτρο Hausdorff και Εφαρμογές

Abstract

Η παρούσα εργασία έχει τίτλο Μέτρο Hausdorff και Εφαρμογές και αποτελεί τη διπλωματική μου εργασία στο Διατμηματικό Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών Μαθηματική Προτυποποίηση στις Νέες Τεχνολογίες και την Οικονομία της Σχολής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών (Σ.Ε.Μ.Φ.Ε.) του Εθνικού Μετσόβιου Πολυτεχνείου (Ε.Μ.Π.). Το αντικείμενο το οποίο διαπραγματεύεται είναι η εφαρμογή του Μέτρου και της Διάστασης Hausdorff σε ποικίλους τομείς. Η θεωρία του Μέτρου και της Διάστασης Hausdorff εφευρέθηκε προκειμένου να μας παρέχει την αντίληψη μιας διάστασης που δεν είχε συλληφθεί από τις υπάρχουσες θεωρίες όπως αυτή του μέτρου Lebesgue. Το μέτρο Lebesgue μπορεί να μας δώσει μόνο ακέραιες τιμές για την διάσταση και ως εκ τούτου χάνει σε ορισμένες δομές όπως θα δούμε στις εφαρμογές. Η παρούσα εργασία είναι χωρισμένη σε τέσσερα κεφάλαια. Στο πρώτο κεφάλαιο παρουσιάζονται οι βασικές γνώσεις Θεωρίας Μέτρου που απαιτούνται για την κατανόηση των επόμενων κεφαλαίων. Συγκεκριμένα, στις ενότητες 1.1, 1.2 και 1.3 γίνεται παρουσίαση των μέτρων σε αφηρημένους,τοπολογικούς και μετρικούς χώρους, αντίστοιχα. Στην ενότητα 1.4 έχουμε μια συνοπτική παρουσίαση του Μέτρου Lebesgue ενώ στην ενότητα 1.5 παρουσιάζουμε τα σύνολα Souslin. Στο δεύτερο κεφάλαιο ορίζουμε και αποδεικνύουμε βασικά αποτελέσματα για το Mέτρο Hausdorff. Ειδκότερα, στο 2.1 παρουσιάζουμε τον ορισμό του Μέτρου Hausdorff καθώς και άλλους ισοδύναμους ορισμούς του. Στο 2.2 ασχολούμαστε με απεικονίσεις, ειδικά μέτρα Hausdorff και επιφάνειες. Στα 2.3 και 2.4 παρουσιάζουμε και αποδεικνύουμε βασικά Θεωρήματα Ύπαρξης και Σύγκρισης, αντίστοιχα. Στο 2.5 αποδεικνύουμε το ιδιαίτερα σημαντικό λήμμα αυξανόμενων συνόλων και τις συνέπειές του,ενώ στο 2.6 ορίζουμε τη διάσταση Hausdorff καθώς και τους τρόπους υπολογισμού της οι οποίοι θα είναι απαραίτητοι για την κατανόηση των εφαρμογών του 3ου κεφαλαίου. Στο τρίτο κεφάλαιο βρίσκονται όλες οι εφαρμογές της διάστασης Hausdorff.Στο 3.1 υπολογίζουμε τη διάσταση Hausdorff του συνόλου Cantor. Στο 3.2 παρουσιάζουμε τον τρόπο κατασκευής της καμπύλης Peano της οποίας η διάσταση Hausdorff είναι ίση με 2. Στο 3.3 και 3.4 ορίζουμε την κίνηση Brown και υπολογίζουμε την διάσταση της εικόνας και του γραφήματός της. Κλείνουμε το κεφάλαιο με το 3.5, στο οποίο παρουσιάζουμε τις συναρτήσεις Weierstrass και υπολογίζουμε τη διάσταση Hausdorff του γραφήματός τους. Στο επίμετρο παρουσιάζουμε άλλα αποτελέσματα που σχετίζονται με το Μέτρο και τη Διάσταση Hausdorff χωρίς αποδείξεις. Στη βιβλιογραφία βρίσκονται οι σχετικές δημοσιεύσεις από τις οποίες αντλήσαμε τα αποτελέσματα.

The subject of this project is the Hausdorff measure,the Hausdorff dimension and its applications.The theory of Hausdorff measure and Hausdorff dimension provides a notion of a dimension that is not provided by theories such as the Lebesgue measure which gives us only integer values for the dimension. This project is separated in four sections. In the first chapter we present the basic knowledge of Measure’s Theory that is required for the understanding of the following chapters. In particular, in the sections 1.1, 1.2 and 1.3 we present the measures on abstract, topological and metric spaces, respectively. In the section 1.4 we have a summary of the Lebesgue’s Measure while in the section 1.5 we present Souslin’s sets. In the second chapter we define and prove basic results for the Hausdorff Measure. In particular, in the 2.1 we present the definition of the Hausdorff Measure and other equivalent definitions. In the 2.2 we deal with images, special Hausdorff Measures and surfaces. In 2.3 and 2.4 we present and prove basic Theorems of Existence and Comparison. In the 2.5 we prove the especially important lemma of increasing sets and its effects, while in the 2.6 we define the Hausdorff dimension as well as some ways of its calculating which will be essential for the understanding of the third’s chapter applications. In the third chapter we present some of the Hausdorff dimension’s applications. In 3.1 we count the Hausdorff dimension of Cantor’s set. In 3.2 we present the way of construction of the Peano’s curve whose Hausdorff dimension is equal to 2. In 3.3 and 3.4 we define Brownian motion and calculate the dimension of its image and its graph. Closing the chapter we present in 3.5 Weierstrass fuctions and we calculate Hausdorff dimension of its graph. In the appendix we present other results related to the Hausdroff measure and Hausdorff dimension without their proofs. In the bibliography are shown the corresponding publications from which we drew the results.