Αρμονική Ανάλυση σε Ομάδες και Εφαρμογές

Abstract

Αντικείμενο της παρούσας διπλωματικής αποτελεί η σύντομη παρουσιάση της Αρμονικής Ανάλυσης σε Ομάδες καθώς και κάποιων χαρακτηριστικών Εφαρμογών που αυτή βρίσκει σε άλλους κλάδους των Μαθηματικών. Μιλώντας γενικά, οι Εφαρμογές αυτές προκύπτουν ύστερα από κατάλληλη κατ’ αρχήν επιλογή μίας τοπικά συμπαγούς τοπολογικής ομάδας. Έπειτα, χρησιμοποιώντας εργαλεία της γενικής θεωρίας, μπορεί κανείς να καταλήξει σε ενδιαφέροντα συμπεράσματα καθώς και να επιλύσει δύσκολα προβλήματα. Έτσι, με τη βοήθεια της Ανάλυσης Fourier στην ομάδα των ακεραίων εφοδιασμένη με τη διακριτή τοπολογία αποδεικνύουμε το θεώρημα του Roth το οποίο αναφέρεται στην εκτίμηση του πλήθους των στοιχείων ενός υποσυνόλου των φυσικών αριθμών όταν αυτό δεν περιέχει μη τετριμμένες αριθμητικές προόδους μήκους 3. Επιπλέον, δουλεύοντας πάνω από την ομάδα του Cantor, που εφοδιάζεται με την τοπολογία που προκύπτει από την αντίστοιχη μετρική γινόμενο, εισάγουμε Πιθανοθεωρητικές μεθόδους στην Αρμονική Ανάλυση. Με τα εργαλεία αυτά, αποδεικνύουμε δύο γνωστά θεωρήματα της Κλασικής Αρμονικής Ανάλυσης, τα οποία αναφέρονται στο μέγεθος του μέτρου των συντελεστών Fourier συνεχών συναρτήσεων και μιγαδικών μέτρων στο μοναδιαίο κύκλο. Μία επίσης ενδιαφέρουσα Εφαρμογή στην Κλασική Ανάλυση παρέχεται στο τελευταίο Κεφάλαιο της εργασίας και αφορά την κατασκευή συναρτήσεων που είναι συνεχείς στο μοναδιαίο κύκλο, αλλά πουθενά παραγωγίσιμες. Πλην όμως των Εφαρμογών της, η θεωρία καθ’ εαυτή παρουσιάζει έντονο ενδιαφέρον. Στα πλαίσια της εργασίας αυτής παρουσιάζουμε ένα από τα πιο κλασικά της θεωρήματα, γνωστό και ως Θεώρημα του Cohen, το οποίο χαρακτηρίζει το σύνολο των μιγαδικών μέτρων Borel πάνω από μία αυθαίρετη τοπικά συμπαγή τοπολογική ομάδα, τα οποία είναι ταυτοδύναμα ως προς την πράξη της συνέλιξης.

The objective of this Thesis is to present briefly Harmonic Analysis on Groups and some of its characteristic Applications in other branches of Mathematics. Roughly speaking, these Applications are the result of an appropriate choice of a Locally Compact Abelian group. Then, by using tools from the general theory, one can reach to interesting conclusions and solve difficult problems. Thus, with the aid of Fourier Analysis on the group of integers, equipped with the discrete topology we prove Roth’s Theorem, which refers to an estimation of the cardinal of subsets non containing non trivial arithmetic progressions of length 3. Furthermore, working on the Cantor Group, equipped with the topology which is derived from the corresponding product metric, we introduce Probabilistic Methods in Harmonic Analysis. Having these tools, we prove two theorems in Classical Harmonic Analysis about the size of magnitude of Fourier coefficients of continuous functions and complex measures on unit circle. An additional Application in Classical Analysis is provided in the last Chapter of this Thesis and it refers to the construction of functions that they are continuous on the unit circle but nowhere differentiable. Despite of its Applications, theory itself is quite interesting. Hence, as part of this work, we present one of its most classic theorems, known as Cohen’s Theorem. This theorem characterizes the set of all complex Borel measures over an arbitrary Locally Compact Abelian group, which are idempotent with respect to convolution.