Το Πρόβλημα Cauchy για τις Εξισώσεις Einstein - Ζητήματα Ευστάθειας

Abstract

Παρ' ότι οι πρώτες μη τετριμμένες λύσεις των εξισώσεων Einstein έκαναν την εμφάνισή τους ήδη από τα πρώτα χρόνια της γέννησης της γενικής θεωρίας της σχετικότητας, η αντιμετώπιση ζητημάτων που σχετίζονται με αυτές με αυστηρά μαθηματικά εργαλεία δεν έγινε παρά αρκετά χρόνια αργότερα, κατά τις δεκαετίες του '50 και του '60. Η περίοδος, δε, των δεκαετιών του '60 και του '70 αποκαλείται συχνά και χρυσή εποχή της θεωρίας της σχετικότητας, και ένα από τα σημαντικά αποτελέσματα των χρόνων αυτών είναι και η θεμελίωση του προβλήματος Cauchy για τις εξισώσεις Einstein. Η θεμελίωση αυτή ήταν απαραίτητη για την μετέπειτα μελέτη των λύσεων των εξισώσεων Einstein με τα εργαλεία της θεωρίας των μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων, και άνοιξε τον δρόμο για την επίτευξη πολυάριθμων αποτελεσμάτων στο χώρο αυτό αλλά και την διατύπωση ακόμα περισσότερων δύσκολων εικασιών. Όπως συμβαίνει και με τους περισσότερους κλάδους των διαφορικών εξισώσεων, ένα από τα κεντρικά ανοιχτά προβλήματα της προσέγγισης αυτής έχει να κάνει με την μελέτη της ευστάθειας των λύσεων του προβλήματος αρχικών τιμών για τις εξισώσεις Einstein κάτω από κατάλληλες προυποθέσεις.

Για το λόγο, λοιπόν, αυτό, η παρούσα εργασία επικεντρώνεται κατ' αρχάς στην προσέγγιση του προβλήματος Cauchy για τις εξισώσεις Einstein: Στο δεύτερο κεφάλαιο γίνεται μια παρουσίαση των αποδείξεων σχετικά με τον ορισμό και την καλή τοποθέτηση του αντίστοιχου προβλήματος αρχικών τιμών, καθώς και της έννοιας του μεγιστικού καθολικά υπερβολικού αναπτύγματος. Στην συνέχεια, στο τρίτο κεφάλαιο, παρουσιάζονται κάποιες από τις κλασικότερες λύσεις των εξισώσεων Einstein και σχολιάζονται τα γεωμετρικά τους χαρακτηριστικά υπό το πρίσμα του προβλήματος Cauchy για αυτές. Το κεφάλαιο αυτό (και μαζί του η παρούσα εργασία) κλείνει με μια μικρή συζήτηση σχετικά με την ευστάθεια των λύσεων αυτών, καθώς και με μια παρουσίαση των σημαντικότερων αποτελεσμάτων που έχουν επιτευχθεί προς την κατεύθυνση αυτή.

Φυσικά, η διαφορική γεωμετρία παίζει θεμελιώδη ρόλο σε όλες τις εκφάνσεις της θεωρίας της σχετικότητας, και για τον λόγο αυτό το πρώτο κεφάλαιο περιλαμβάνει μια μικρή εισαγωγή σε βασικές έννοιες της Ριμάννειας αλλά και της Λορέντζιας γεωμετρίας. Βέβαια, η εισαγωγή αυτή απέχει πολύ από το να θεωρηθεί πλήρης, μια και ο σκοπός της είναι απλώς η παρουσίαση των ορισμών και των αποτελεσμάτων που κάνουν την εμφάνισή τους αργότερα στο κείμενο. Πέραν αυτού, για την ολοκληρωμένη παρουσίαση των αποδείξεων του δευτέρου κεφαλαίου, είναι απαραίτητη η γνώση κάποιων αποτελεσμάτων σχετικά με τις λύσεις μη γραμμικών κυματικών εξισώσεων. Τα αποτελέσματα αυτά παρουσιάζονται με αναλυτικές αποδείξεις (στις περισσότερες περιπτώσεις) στο παράρτημα. Τέλος, στην συζήτηση σχετικά με την ευστάθεια των λύσεων των εξισώσεων Einstein κεντρική θέση κατέχει η μέθοδος του διανυσματικού πεδίου, και για τον λόγο αυτό το παράρτημα περιλαμβάνει κάποιους βασικούς σχετικούς ορισμούς.

While the first non trivial solutions of the Einstein equations appeared early in the history of General Relativity, the employment of rigorous mathematical tools in their study took place much later, during the 50s and the 60s. Consequently, the years spanning the 60s and the early 70s are usually referred to as the “Golden Era” of General Relativity, and one of the most important results emanating from this era is the formulation of the Cauchy problem for the Einstein equations. This formulation was a prerequisite for the study of the Einstein equations with the aid of the theory of non linear differential equations, leading to numerous achievements in the field and forming the basis for the formulation of a plethora of conjectures. As is common in most of the fields related to differential equations, one of the most significant open problems stemming from the above formalism is the establishment of the global stability of the solutions of the initial value problem for the Einstein equation under suitable assumptions. Due to this fact, the present diploma thesis focuses on the formulation and the establishment of the Cauchy problem for the Einstein equations: In the second chapter, we present the proofs related to the well posedness of the (suitably formulated) initial value problem, followed by a brief discussion of the notion of a maximal globally hyperbolic development. In the third chapter, some of the most important solutions of the Einstein equations are being presented, and their geometric features are being studied in the frame of the relevant Cauchy problem. This chapter (together with the present thesis) ends with a discussion related to the global stability properties of these solutions, followed by a brief presentation of the most significant related results that have been proved so far. Of course, differential geometry plays a fundamental role in each and every aspect of general relativity. Therefore, the first chapter includes a brief introduction in fundamental concepts of Riemannian and Lorentzian geometry. It should be noted, however, that such an introduction is far from being complete, since its sole purpose is the presentation of the definitions and results that will appear throughout the text. Apart from that, for the sake of completeness of the proofs in the second chapter, knowledge of some results related to the solution of non linear wave equations is necessary. This results are presented together with complete proofs (at least most of the times) in the appendix. Last but not least, the vector field method is of paramount importance in the discussion regarding the stability of the solutions of the Einstein equations, and hence the appendix also contains some of the most important related definitions.