Ακέραιος Προγραμματισμός: Μέθοδοι και Εφαρμογές

Abstract

Η παρούσα διπλωματική εργασία είναι μία παρουσίαση και ανάλυση των προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού και των μεθόδων επίλυσής τους. Αρχικά, στο Κεφάλαιο 1, γίνεται μία εισαγωγή στην επιστήμη της Επιχειρησιακής Έρευνας, παρουσιάζοντας τις απαρχές της, αλλά και την σημαντικότητά της στην σύγχρονη κοινωνία. Έπειτα, στο Κεφάλαιο 2 επικεντρωνόμαστε στο αντικείμενο που θα μελετήσουμε, αυτό δηλαδή του Γραμμικού Προγραμματισμού (Linear Programming), και πιο συγκεκριμένα του Ακέραιου Γραμμικού Προγραμματισμού (Integer Linear Programming). Παρουσιάζονται, εκτός των απαραίτητων ιστορικών στοιχείων, το μαθηματικό μοντέλο που θα χρησιμοποιούμε, οι προϋποθέσεις ώστε ένα πρόβλημα να μπορεί να επιλυθεί μέσω αυτών των εργαλείων, ενώ, ολοκληρώνοντας το κεφάλαιο, μοντελοποιούνται μερικά τυπικά χαρακτηριστικά προβλήματα. Πριν προχωρήσουμε στις δύο βασικές μεθόδους που θα μας απασχολήσουν εκτενώς, στο Κεφάλαιο 3 παρουσιάζουμε ένα σπουδαίο μαθηματικό εργαλείο, την μέθοδο Simplex, η οποία χρησιμοποιείται ανά πάσα στιγμή και μας επιτρέπει να επιλύουμε επιτυχώς προβλήματα βελτιστοποίησης πολλών μεταβλητών. Στα Κεφάλαια 4 και 5 αναλύονται σε βάθος, με διάφορα χαρακτηριστικά παραδείγματα για την καλύτερη κατανόησή τους, οι μέθοδοι Branch and Bound (Διακλάδωσης και Οριοθέτησης) και Cutting Planes (Επιπέδων Αποκοπής). Ακολουθούν, στο Κεφάλαιο 6, δύο εφαρμογές ώστε να δούμε στην πράξη, πώς χρησιμοποιούνται όλα τα παραπάνω σε δύο ρεαλιστικά προβλήματα. Τέλος, ολοκληρώνουμε αυτή την διπλωματική εργασία, με το Κεφάλαιο 7 και την παρουσίαση ενός πολύ σημαντικού προβλήματος της εποχής μας, αυτό του Πλανόδιου Πωλητή (Traveling Salesman Problem – TSP), το οποίο μπορεί να αντιμετωπιστεί με τα εργαλεία του Ακέραιου Προγραμματισμού.

This thesis is a study on the methods and problems that are solved through Integer Linear Programming. Initially, Chapter 1 is an introduction of Operational Research in general, presenting its roots, as well as its significance in modern societies. In Chapter 2, we place emphasis on the subject that we will be studying in this thesis, which is Linear Programming and more specifically, Integer Linear Programming. Except for the historical facts, we will be presenting the assumptions that are needed for a problem to be considered as an ILP problem, plus some typical ILP problems. Prior to presenting the two basic methods that are used to solve ILP problems, in Chapter 3 we introduce an essential mathematical tool, the Simplex method, which is widely used in solving optimization multivariable problems. In the following Chapters (4 & 5) the Branch and Bound and Cutting Planes methods are studied and analyzed through many indicative examples. In Chapter 6, we solve two actual, real problems, in order to demonstrate how the above methods actually work. Last but not least, in the final Chapter (7), the very famous and much discussed Traveling Salesman Problem (TSP) is presented, while dealing with it using the Integer Linear Programming methods which have already touched upon earlier.