Θεώρημα Lax-Milgram, Γενικευσεις και Εφαρμογές

Abstract

Στη Μεταπτυχιακή αυτή εργασία ασχοληθήκαμε με το Θεώρημα Lax-Milgram και κάποιες βασικές γενικεύσεις και εφαρμογές αυτού. Στο πρώτο κεφάλαιο ορίζουμε την έννοια της διγραμμικής μορφής και αποδεικνύουμε το Θεώρημα Lax-Milgram. Έπειτα παραθέτουμε μια σειρά από προβλήματα Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων Ελλειπτικού τύπου στα οποία δείχνουμε την ύπαρξη μοναδικής ασθενούς λύσης με την βοήθεια του Lax-Milgram. Συνεχίζουμε το κεφάλαιο αυτό με δύο παραγράφους αφιερομένες στην κατασκευή της λύσης του Θεωρήματος Lax-Milgram. Κλείνουμε το πρώτο κεφάλαιο με το Θεώρημα Stampacchia και δύο εφαρμογές του. Στο δεύτερο κεφάλαιο παρουσιάζουμε κάποιες από τις πιο γνωστές γενικέυσεις του Θεωρήματος Lax-Milgram, όπως τα Θεωρήματα Babuska, Babuska- Brezzi, Lions και Necas, και κάποιες αντίστοιχες εφαρμογές. Στο τελευταίο κεφάλαιο αυτής της εργασίας αποδεικνύουμε την αντιστρεψιμότητα γραμμικών τελεστών πάνω σε χώρους Hilbert ή Banach που ικανοποιούν κατάλληλες χαλαρές συνθήκες πιεστικότητας .

In this Master thesis we studied the Lax-Milgram Theorem, some basic generalizations and applications of it. In the first chapter we define the notion of bilinear form and we prove the Lax-Milgram Theorem. Next, we show the existence of weak solution to a number of examples in Partial Differential Equations of Elliptic type with the use of Lax-Milgram Theorem. We continue this chapter with two sections dedicated on construction theorems of the Lax-Milgram’s solution. We close this chapter with Stampacchia Theorem and two applications of it. In the second chapter, we study some of the most well known generalizations of Lax-Milgram Theorem, such as Babuska, Babuska- Brezzi, Necas and Lions Theorems, and corresponding applications. In the last chapter of this thesis we prove the invertibility of linear operators on Hilbert or Banach spaces who satisfy some kind of relaxed coercive properties.