Επίλυση συστημάτων εξισώσεων κυρτών συναρτήσεων με χρήση αλγορίθμου ολικής βελτιστοποίησης.

Abstract

Ο σκοπός της διπλωματικής εργασίας ήταν η επίλυση συστημάτων εξισώσεων κυρτών συναρτήσεων. Αυτό αντιμετωπίστηκε ανάγοντας το πρόβλημα σε ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης κοίλων συναρτήσεων με κυρτούς περιορισμούς. Επιλέχθηκε ένας γνωστός από τη βιβλιογραφία ντετερμινιστικός αλγόριθμος διαδοχικών εξωτερικών προσεγγίσεων για να λυθεί αυτό το πρόβλημα ελαχιστοποίησης. Με αυτό τον τρόπο επίλυσης αποκτάμε γνώση τόσο για τη λύση του συστήματος, όσο και για την ύπαρξη αυτής. Στα πλαίσια της διπλωματικής υλοποιήθηκε η μέθοδος αυτή στο προγραμματιστικό περιβάλλον του Matlab© και ελέγχθηκε η ορθή λειτουργία της σε διάφορα παραδείγματα. Τέλος, είδαμε ότι η μέθοδος αυτή, με χρήση ιδιοτήτων των συναρτήσεων κυρτών διαφορών, μπορεί να επεκταθεί και στη λύση συστημάτων εξισώσεων δύο φορές συνεχώς διαφορίσιμων στο Rn συναρτήσεων.

The goal of this thesis was to solve systems of equations of convex functions. Our approach was to handle this as a problem of concave minimization. A known deterministic algorithm was selected, which is using the successive outer approximation method. That way, knowledge of the existence of the solution, as well as the solution itself is achieved. As part of the thesis we implemented the method using the software package Matlab© and its proper use was checked on several examples. Finally, we came to the conclusion that the method, by using properties of difference convex functions, can also be used to solve systems of equations of two times continuously differentiable on Rn functions.