Οι Ομάδες των Πλεξίδων και εφαρμογές τους στην Κρυπτογραφία και τα Πολυμερή

Abstract

Στην παρούσα διπλωματική εργασία ασχολούμαστε νε τον ορισμό των ομάδων πλεξίδων και με την λύση του word problem πάνω σε αυτές. Παρουσιάζουμε διεξιοδικά τις λύσεις που έδωσαν, πρώτα ο Garside και στην συνέχεια ο Dehornoy. Επιπλέον ακολουθώντας τα βήματα του Dehornoy, αποδεικνύουμε την ύπαρξη μιας ολικής διάταξης στην ομάδα των πλεξίδων. Αυτά παρουσιάζονται στα Κεφάλαια 1 και 2. Στο τρίτο κεφάλαιο αναφερόμαστε σε δύο κρυπτογραφικά πρωτόκολλα που χρησιμοποιούν τις ομάδες των πλεξίδων και πιο συγκεκριμένα την δυσκολία επίλυσης του conjugacy problem πάνω σε αυτές. Κλείνουμε με μια αναφορά σε δυνατές εφαρμογές των ομάδων πλεξίδων στην μελέτη της δομής των πολυμερών.

In this dissertation we present the basic definitions of braid group and we study the solution of the word problem. We introduce in detail the solutions that first Garside gave, and after the one from Dehornoy. Furthermore, following Dehornoy's steps, we prove the existence of a linear ordering in the braid group. The above are presented in Chapters 1 and 2. In the third chapter we mention two cryptographic protocols which use the braid groups and especially the difficulty of solving the conjugacy problem. Finally, we note a possible application of braid groups in the study of the structure of polymers.