Κινηματική Υποπολλαπλοτήτων & Εφαρμογές Κινηματική Υπερεπιφανειών σε πολλαπλότητες Riemann

Abstract

Στην παρούσα διατριβή μελετάται η κινηματική m – διάστατου συνεχούς κινούμενου εντός (m+1) – διάστατης πολλαπλότητας Riemann N, προτυπούμενη από την κίνηση μιάς υπερεπιφάνειας M εντός πολλαπλότητος Riemann N. Εστιάζοντας πάνω στην συνδιάσταση του συνεχούς ως πρός τόν περιβάλλοντα χώρο παρά στην διάστασή του, παρέχεται ενιαίο πλαίσιο θεώρησης είτε γιά καμπύλες κινούμενες πάνω σε επιφάνεια, ή για επιφάνειες κινούμενες εντός 3 – διάστατου χώρου (Ευκλείδιου ή Riemann), ή για υπερεπιφάνειες κινούμενες εντός χώρου Riemann αυθαίρετης διάστασης. Η χρήση γενικότερων γεωμετρικών δομών και η ανεξάρτητη συστήματος συντεταγμένων προσέγγιση διευκολύνει σημαντικά την περιγραφή και κατανόηση των γενικευμένων συνεχών. Δίνονται τύποι οι οποίοι αφορούν στην μεταβολή γεωμετρικών ποσοτήτων μερικοί από τούς οποίους γενικεύουν τούς αντίστοιχους για επιφάνειες κινούμενες εντός Ευκλείδιου χώρου (N. Kadianakis, «Evolution of surfaces and the kinematics of membranes», J. Elast. 99, 1-17, 2010). Ο πυρήνας της παρούσας διατριβής συνίσταται στην παραγωγή εξελικτικών εξισώσεων για την μεταβολή σχεδόν όλων των γεωμετρικών ποσοτήτων πού περιγράφουν την εσωτερική και την εξωτερική γεωμετρία της υπερεπιφάνειας. Ένα σημαντικό εργαλείο αποτελεί μιά γενίκευση του θεωρήματος πολικής ανάλυσης για επιφάνειες, τό οποίο εισήγαγαν οι Man, C.-S. και Cohen, H., στό «A coordinate free approach to the kinematics of membranes,» J. Elast. 16: 97—104, 1986, και τό οποίο γενικεύεται εδώ στην περίπτωση μιάς υπερεπιφάνειας πολλαπλότητος Riemann. Τα αποτελέσματα εφαρμόζονται σε ειδικές κινήσεις, ειδικότερα σε εφαπτομενικές κινήσεις και κινήσεις κατά την κατεύθυνση της καθέτου, απειροστικές παραλληλίες, κινήσεις γνησίου ρυθμού παραμόρφωσης και σε απειροστικές ισομετρίες. Παρέχεται επίσης μιά εφαρμογή για την περίπτωση μιάς επιφάνειας κινούμενης εντός 2 – διάστατης πολλαπλότητος, η οποία προτυποποιεί την κίνηση 1 – διάστατου συνεχούς κινούμενου πάνω σε επιφάνεια. Η τελευταία εφαρμογή παρουσιάζεται ανεξάρτητα από την εμφύτευση της επιφάνειας μέσα σε ευρύτερο περιβάλλοντα χώρο.

In the present dissertation we study the kinematics of an $m$ - dimensional continuum moving in an $m+1$ - Riemannian manifold $N$, modelled by the motion of a hypersurface $M$ in a Riemannian manifold $N$. Focusing on the codimension of the continuum relative to the ambient space rather on its dimension, we provide a unified framework for either curves moving on surfaces, surfaces moving in a $3$ - dimensional space (Euclidean or Riemannian), or hypersurfaces moving in a Riemannian space of arbitrary dimension. The use of general geometric structures and a coordinate-free approach significantly agevolates the description and understanding of more general continua. Formulae are given concerning the variation of geometric quantities of the hypersurface, some of which generalize those given for surfaces moving in Euclidean space («Evolution of surfaces and the kinematics of membranes», Kadianakis, N., J. Elasticity 16: 1--17, 2010). The kernel of the dissertation consists in the production of evolution equations for the variations of almost all the geometric quantities describing the intrinsic and the extrinsic geometry of the hypersurface. An important tool constitutes a generalization of the theorem for the polar decomposition for surfaces introduced by Man, C.-S. and Cohen, H. in «A coordinate free approach to the kinematics of membranes» , J. Elast. 16: 97-104, 1986, and generalized here for the case of hypersurfaces of Riemannian manifolds. Our results are applied to specific motions, in particular to tangential motions and motions along the normal, infinitesimally parallel motions, pure strain motions and to infinitesimally isometric motions. An application is also provided for the case of a surface moving on a $2$ - dimensional manifold, which models a $1$ - dimensional continuum moving on a surface. The later application is presented indipendently of the embedding of the surface in a larger ambient space.