Χαμιλτονιανή δυναμική φορτισμένων σωματιδιών σε πολύπλοκες μαγνητικές τοπολογίες

Abstract

Αντικείμενο της παρούσας διπλωματικής εργασίας είναι η μελέτη της κίνησης μεμονωμένων φορτισμένων σωματιδίων σε διάφορες μαγνητικές γεωμετρίες αυξανόμενης πολυπλοκότητας. Το βασικό ερέθισμα που οδήγησε στην ανάγκη για αυτή την προσέγγιση είναι ένα βασικό πρόβλημα της Φυσικής Πλάσματος: η μαγνητική συγκράτηση (Magnetic Confinement) των ηλεκτρονίων και των ιόντων που απαρτίζουν το θερμοπυρηνικό πλάσμα σε αντιδραστήρες πυρηνικης σύντηξης, με σκοπό την παραγωγή ηλεκτρικής ενέργειας. Όπως θα δούμε, ο βέλτιστος τρόπος περιορισμού του πλάσματος είναι μέσω πολύπλοκων τοπολογιών μαγνητικών πεδίων. Στο Κεφάλαιο 1 γίνεται μια γενική εισαγωγή στη Φυσική του Πλάσματος και αναφερόμαστε περιληπτικά στους τρεις διαφορετικούς τρόπους περιγραφής: τη μελέτη της δυναμικής μεμονωμένων σωματιδίων, την προσέγγιση ρευστού και τη στατιστική θεώρηση μέσω της κινητικής θεωρίας. Στο Κεφάλαιο 2 επικεντρωνόμαστε στην κλασική μελέτη της δυναμικής φορτισμένων σωματιδίων μέσω της νευτώνειας δυναμικής και της μηχανικής Lagrange – Hamilton. Χρησιμοποιώντας την προσέγγιση του κέντρου περιστροφής μελετάμε την ελικοειδή κίνηση ενός φορτισμένου σωματιδίου γύρω από τις μαγνητικές γραμμές κατά μήκος του πεδίου για απλές περιπτώσεις. Αναφερόμαστε στις διαφόρων ειδών ανομοιογένειες στη μαγνητική γεωμετρία και στις ολισθήσεις που προκύπτουν λόγω αυτών. Στη συνέχεια εισάγουμε τις μεθόδους της Χαμιλτονιανής Μηχανικής με σκοπό να εκμεταλλευτούμε πλήρως τις χωρικές συμμετρίες στα μαγνητικά πεδία τα οποία μελετάμε και να εξάγουμε σταθερές της κίνησης. Εφ’ όσον οι κινήσεις των σωματιδίων παρουσιάζουν περιοδικότητα, συζητάμε για τις αδιαβατικές αναλλοίωτες και τις μεταβλητές Δράσης – Γωνίας σε χαμιλτονιανά συστήματα. Το Κεφάλαιο 3 περιέχει τη μελέτη της χαμιλτονιανής δυναμικής φορτισμένων σωματιδίων σε δεδομένες τοπολογίες: (α) εξωτερικά επιβαλλόμενα μαγνητικά και ηλεκτρικά πεδία και (β) μαγνητικά πεδία επαγόμενα από ηλεκτρικά ρεύματα, και συγκεκριμένα από ευθύγραμμο ρευματοφόρο αγωγό, από επίπεδο κυκλικό ρευματοφόρο βρόχο και την υπέρθεση αυτών. Στο Κεφάλαιο 4 εκτελούνται αριθμητικές προσομοιώσεις για την επίλυση των διαφορικών εξισώσεων κίνησης των σωματιδίων μέσω μεθόδων Runge – Kutta4ης τάξης σε όλα τα φυσικά συστήματα του προηγουμένου Κεφαλαίου. Παρατίθενται γραφήματα ενδεικτικών τροχιών για μεμονωμένα φορτισμένα σωματίδια, ενώ επισημαίνονται οι περιοδικές τους κινήσεις σε χαοτικά μαγνητικά πεδία που προκύπτουν από μη συμμετρικές κατανομές ρεύματος. Τέλος, στα παραρτήματα της διπλωματικής εργασίας παρατίθενται: (α) η αναλυτική εξαγωγή των εκφράσεων του μαγνητικού πεδίου που επάγεται από κυκλικό βρόχο ρεύματος σε κυλινδρικό σύστημα συντεταγμένων και (β) οι κώδικες των αριθμητικών προσομοιώσεων του Κεφαλαίου 4 σε MATLAB και Fortran για τη σχεδίαση των πεδιακών γραμμών και των τροχιών των φορτισμένων σωματιδίων.

The main subject of this diploma thesis is the study of charged particles' motion in various magnetic geometries of progressive complexity. The initial stimulation that led to this approach is a fundamental problem of Plasma Physics: the magnetic confinement of the electrons and the ions that comprise the thermonuclear plasma in nuclear fusion reactions, aiming to produce energy. As we will see, the optimal method for plasma confinement is through complex magnetic fields topologies. In Chapter 1 there is a general introduction to Plasma Physics and a brief description of the three approaches of plasma description: the study of single charged particle motion, the fluid dynamics approach and the statistical view through the kinetic theory. In Chapter 2 we focus to the classical study of charged particle motion through Newtonian dynamics and Lagrange - Hamilton mechanics. Using the guiding center approximation we study the helical motion of a charged particle around the magnetic field lines and along the field for simple cases. We refer to the various inhomogeneities in the magnetic geometry and the resulting occurring drifts. Furthermore, we introduce the Hamiltonian methods so as to fully take advantage of the spatial symmetries in the magnetic fields, and extract constants of motion. Due to the periodicity in particle motion we discuss the adiabatic invariants and the Action - Angle variables in Hamiltonian systems. Chapter 3 includes the study of charged particles hamiltonian dynamics in given topologies: (a) externally imposed magnetic and electric fields and (b) magnetic fields induced due to electric currents, and particularly due to a straight current-carrying wire, a circular planar current loop and their superposition. In Chapter 4 we execute numerical simulations in order to solve the differential equations of motion with 4th order Runge - Kutta methods in all physical systems of the previous chapter. Plots of illustrative trajectories for single charged particles are presented, while we also remark their periodical motion in chaotic magnetic fields due to asymmetric current configurations. Last, in the appendices of this diploma thesis we present: (a) the analytical extraction of the magnetic field expressions for a current loop in cylindrical coordinates and (b) the MATLAB and Fortran codes for the numerical simulations of Chapter 4: design of magnetic field lines and indicative trajectories of charged particles.