Λογισμός των Μεταβολών: Ικανές και Αναγκαίες Συνθήκες

Abstract

Η παρούσα διπλωματική εργασία πραγματοποιήθηκες με σκοπό τη μελέτη ικανών και αναγκαίων συνθηκών για την ελαχιστοποίηση (μεγισστοποίηση) ενός συναρτησιακού. Αρχικά παρουσιάζονται βασικές έννοιες και θεωρήματα του Λογισμού των Μεταβολών ενώ παράλληλα δίνονται παραδείγματα εφαρμογής αυτών. Στη συνέχεια παρουσιάζεται η έννοια του πεδίου ακρότατων και η διαδικασία που οδήγησε στην (ικανή) συνθήκη του Weierstrass. Η ενσωμάτωση ενός ακρότατου σε ένα πεδίο, μέσω των σημείων μηδενισμού των λύσεων της εξίσωσης Jacobi για το πρόβλημα, οδηγεί στη διατύπωση επιπλέον ικανών συνθηκών ελαχιστοποίησης.

The propose of this thesis is to study sufficient and necessary conditions for the existence of a minimum (maximum) of a functional. Basic definitions and theorems of Calculus of Variations are presented and examples are provided. The concept of a field of extremals is defined and the corresponding approach that led to the Weierstrass condition. The embedability of an extremal in a field via the zeros of the solution of the Jacobi equation, implies more sufficient conditions for minimum.