Θεωρία μη γραμμικών τελεστών μονότονου τύπου και εφαρμογές τους σε προβλήματα συνοριακών τιμών

Abstract

Στην εργασία αυτή εξετάζουμε μία κλάση μη γραμμικών τελεστών μονότονου τύπου και ορισμένες εφαρμογές τους σε προβλήματα συνοριακών τιμών. Στο κεφάλαιο 2 παραθέτουμε ορισμένα βασικά θεωρήματα της Συναρτησιακής Ανάλυσης τα οποία χρησιμοποιούμε στη συνέχεια. Στο κεφάλαιο 3 γινεται μία αναφορά στη Θεωρία Χώρων Sobolev και παραθέτουμε κάποιες από τις βασικές ιδιότητές τους. Στο κεφάλαιο 4 αποδεικνύεται η ανισότητα Poincare και μελετώνται δύο προβλήματα συνοριακών τιμών. Στο κεφάλαιο 5 γίνεται μία εισαγωγή στους μονότονους τελεστές σε χώρους Banach και παραθέτουμε ορισμένες βασικές ιδιότητές τους. Έπειτα αποδεικνύεται το Θεώρημα των Minty-Browder που αφορά στους μονότονους τελεστές και ορίζονται οι τελεστές Nemytski ενώ αποδεικνύονται κάποιες βασικές ιδιότητές τους. Στο κεφάλαιο 6 γίνεται μία εφαρμογή του Θεωρήματος Minty - Browder. Στο κεφάλαιο 7 ορίζονται οι μη γραμμικοί ψευδομονότονοι τελεστές και παραθέτουμε το Θεώρημα του Brezis. Έπειτα δίνεται μία εφαρμογή του Θεωρήματος Brezis. Τέλος, σο κεφάλαιο 8 μελετώνται οι γραμμικοί και μεγιστικά μονότονοι τελεστές και γίνεται αναφορά του Θεωρήματος Hille - Yosida..