Composition Άλγεβρες και Εφαρμογές

Abstract

Στην παρούσα διπλωματική εργασία μελετάμε τις Composition Άλγεβρες, την ταξινόμησή τους και κάποιες εφαρμογές αυτών. Στο Κεφάλαιο 1 ορίζουμε κάποιες βασικές αλγεβρικές δομές, διανυσματικούς χώρους και άλγεβρες. Επίσης, γράφουμε σχετικά με διγραμμικές και τετραγωνικές μορφές. Στο Κεφάλαιο 2 ορίζουμε τις Composition Άλγεβρες και μελετάμε κάποιες ιδιότητες αυτών. Επίσης, περιγράφουμε την άλγεβρα των τετράδων και τις οκτάδες, οι οποίες είναι Composition Άλγεβρες διαστάσεων 4, 8 αντίστοιχα. Στο Κεφάλαιο 3 περιγράφουμε την μέθοδο Cayley-Dickson και μελετάμε την ταξινόμηση των Composition Αλγεβρών, η οποία δίνεται από το θεώρημα του Hurwitz. Επιπλέον, δίνουμε κάποιες περαιτέρω ιδιότητες των Composition Αλγεβρών. Στο τελευταίο Κεφάλαιο δίνουμε κάποιες εφαρμογές των τετράδων και των οκτάδων.

In this diploma thesis we study Composition Algebras, their classification and some applications of them. In Chapter 1 we define some basic algebraic structures, vector spaces and algebras. Also, we write about bilinear and quadratic forms. In Chapter 2 we define Composition Algebras and we study some properties of them. Also, we describe Quaternions and Octonions which are Composition Algebras with dimensions 4, 8 respectively. In Chapter 3 we describe the Cayley-Dickson process and we study the classification of Composition Algebras, which is given by the Hurwitz theorem . Futhermore, we give some further properties of Composition Algebras. In the last Chapter we give some applications of Quaternions and Octonions.